Derivera med e

Om $f(x)=e^x$ och $g(x)=\sqrt{x^2+1}$ så har vi att $f(g(x))=e^{\sqrt{x^2+1}}$.

Derivatan av $e^{r(x)}$ är alltså $e^{r(x)}r'(x)$

Vad är r? Jag hänger med på all annat förutom det :)

r(x) är en allmän funktion, men du kan stoppa in g(x) där istället (då matchar det ju din situation). 

Räcker det inte då att bara ha x där? Jag menar alltså att det upphöjs ändå med g(x). Jag kanske missförstår dig.

Vi måste applicera kedjeregeln. 

Om $h(x)=f(g(x))$ så är $h'(x)=f'(g(x))g'(x)$

Men derivatsn av $e^x$ är $e^x,$ därför så fås derivatan som $e^{g(x)}g'(x)$, $f,g$ är definierade i inlägg #1

Så här?

Hej!

Det är lite svårt att se, men det ser ut som att funktionen är skriven som $f\left(x\right)=e^{\sqrt{x^{2+1}}}$. Det verkar lite konstigt (då kan vi ju bara skriva $2+1=3$) och är antagligen ett skrivfel, funktionen bör nog vara $f\left(x\right)=e^{\sqrt{x^{2}+1}}$.

En bra övning kan ju vara att derivera båda två.

Vad har jag gjort knasigt som jag kan ändra på?

offan123 skrev:

Vad har jag gjort knasigt som jag kan ändra på?

Jag vet inte hur du får en faktor $x\left(x^3\right)^{-0.5}$. Om funktionen är $f\left(x\right)=e^{\sqrt{x^2+1}}$ så är, enligt kedjeregeln, $f'\left(x\right)=e^{\sqrt{x^2+1}}\cdot\frac{d}{dx}\left(\sqrt{x^2+1}\right)$.

Är du med på det?

Vad är $\frac{d}{dx}\left(\sqrt{x^2+1}\right)$?

Om funktionen är $f\left(x\right)=e^{\sqrt{x^{2+1}}}=e^{\sqrt{x^{3}}}=e^{{x^{3/2}}}$ så är, enligt kedjeregeln, $f'\left(x\right)=e^{{x^{3/2}}}\cdot\frac{d}{dx}\left(x^{3/2}\right)$.

Om man följer formeln i formelbladet så det det ut som jag skrivit på pappret. 

Kan du skriva steg för steg hur du kom fram till det du gjorde?

Nu håller jag mig till det du skrivit, dvs. att $f\left(x\right)=e^{\sqrt{x^{2+1}}}=e^{x^{3/2}}$.

Låt $h\left(x\right)=e^x$ och $g\left(x\right)=x^{3/2}$. Då gäller att $f\left(x\right)=h\left(g\left(x\right)\right)$. Enligt kedjeregeln är $f'\left(x\right)=h'\left(g\left(x\right)\right)\cdot g'\left(x\right)$. Vi har att

$h'\left(x\right)=e^x$ och $g'\left(x\right)=\frac{3}{2}x^{3/2-1}$.

Nu kan du slutföra och skriva ner $f'\left(x\right)$. Glöm inte att $h'$ skall beräknas i punkten $g\left(x\right)$, och inte i punkten $x$.

När jag stoppar in 1 får jag 4,16…

Men facit får:

Då är funktionen: $e^{\sqrt{x^2+1}}$. 

Hur menar du? Det visste vi redan i uppgiften?

offan123 skrev:

Hur menar du? Det visste vi redan i uppgiften?

Nä, en bra bit in i tråden trodde du att det som är under roten var x²⁺¹ = x³.

Tror nog så fortfarande. 2:an och 1:an ligger ju bredvid varandra och då tror man att det går att addera ihop dem. Varför får man inte göra så?

Då stämmer det inte med svaret i facit, och varför skulle någon skriva det på ett så konstigt sätt?

Du kan också se att 1an är större än 2an i frågan. Hade både 1an och 2an varit i exponenten så hade dom haft samma storlek. Och ja, varför skulle författaren skriva $x^{2+1}$ och inte $x^3$ istället?