Derivera "med avseende"
Vad betyder att "derivera med avseende på x". För t.ex. om man deriverar e^y=x => e^y*y'=1
Då deriverar man ju både y och x, varför står det då "med avseende på x", man deriverar ju y också eller?
Detta hänger ju ihop med att varför blir y^2=1/((cosx)^2)-1 => 2yy' = -2(cox)^-3, alltså varför blir det y' i vänster ledet, hade det varit x istället för y, då hade det ju blivit 2x*1, alltså att x blir 1 och inte x', varför?
Som du vet så är derivata ett sätt att beskriva förändring.
Att "derivera med avseende på x" innebär att man tittar på hur denna förändring ser ut i x-led.
Vi tänker här att y inte är en konstant utan att y är beroende av x, dvs att y = y(x).
När vi ska derivera ett uttryck med avseende på x så kan vi då behöva använda kedjeregeln om det finns y med i uttrycket i form av en sammansatt funktion. Det är därför vi deriverar uttrycket med avseende på y först och sedan deriverar y med avseende på x. y' är då "inre derivatan".
Exempel: Om y = y(x) så är x-derivatan av y2 lika med 2•y•y'.
När man arbetar med olika funktioner så blir det tydligt. Till exempel S(t) sträcka med avseende på tid. Då vet vi att t är variabeln och att grafen för sträckan beror av tiden. Sätter vi in en siffra t.ex. S(3) så kan det då betyda hur långt man kommit efter 3 timmar eller vilken tidsenhet vi nu använder.
Deriverar vi ekvationen för sträckan med avseende på tiden så får vi som bekant veta grafens ekvation för hastigheten.
så
Just det här exemplet förutsätter att accelerationen är konstant och används till exempel vid fritt fall.
Ju mer variabler som är inblandade desto tydligare blir det varför man använder funktionsbegreppet f(x)
U(t) Spänning beroende av tid eller vattenflöde beroende på en ventils öppning i mm2 q(A) flöde beroende av area.
Så försök att tänka f(x) istället för y om du ska derivera med avseende på x för att få veta värdet på y.
Tillägg: 4 okt 2022 08:37
Jag ser nu att den här frågan var betydligt mer avancerad än jag tänkt mig. Jag får sätta på mig tänkarluvan ett tag till.
Nu förstår jag också efter att ha läst Yngves inlägg och sett den här VIDEON.
Viktigt att förstå att du ska skriva f(x) istället för y i dina exempel som du frågade om annars blir det obegripligt.
Du kan också använda andra beteckningar givetvis som g(x), h(x) eller vad du vill. Bara man förstår att det är en hel funktion som åsyftas med avseende på x. Finns inget x med i funktionen så blir den noll.
