derivera för att lösa en integral?

Hej,

Integralen

    $\displaystyle\int f(x)\,dx$

ersätts med integralen

    $\displaystyle\int f(g(u)) g'(u)\,du$

där substitionen är $x=g(u).$ För dig är $g(u) = \frac{a-u}{b}.$ Det är på grund av Kedjeregeln som den nya integranden blir $f(g(u))g'(u)$.

Om vi substituerar in u istället för x så måste vi ersätta x överallt med något uttryck där u ingår.

1. Integranden är ganska rättfram, men för att förstå hur dx ska ersättas med ett uttryck bestående av u så tar man fram ett uttryck för x-derivatan av substitutionsvariabeln u. Därifrån får man en relation mellan dx och du.

2. När du ersätter integranden med 1/u och dx med -1/b du så blir uttrycket i integralen (1/u)*(-1/b) du. Eftersom b är en konstant i sammanhanget så kan faktorn -1/b lyftas ut utanför integralen.

Albiki skrev:

Hej,

Integralen

    $\displaystyle\int f(x)\,dx$

ersätts med integralen

    $\displaystyle\int f(g(u)) g'(u)\,du$

där substitionen är $x=g(u).$ För dig är $g(u) = \frac{a-u}{b}.$ Det är på grund av Kedjeregeln som den nya integranden blir $f(g(u))g'(u)$.

jag förstår inte, hur ska jag tänka för att implementera kedjeregeln baklänges? tidigare har jag bara använt den när jag deriverat. och varför blir $g\left(u\right)=\frac{a-u}{b}$? u är ju a – bx

Yngve skrev:

Om vi substituerar in u istället för x så måste vi ersätta x överallt med något uttryck där u ingår.

1. Integranden är ganska rättfram, men för att förstå hur dx ska ersättas med ett uttryck bestående av u så tar man fram ett uttryck för x-derivatan av substitutionsvariabeln u. Därifrån får man en relation mellan dx och du.

2. När du ersätter integranden med 1/u och dx med -1/b du så blir uttrycket i integralen (1/u)*(-1/b) du. Eftersom b är en konstant i sammanhanget så kan faktorn -1/b lyftas ut utanför integralen.

hur kan dx ersättas av ett uttryck? dx betyder ju bara "med avseende på x", det har ju inget värde. och fattar fortfarande inte varför man deriverar, tyvärr :(

deriverar man för att bli kvitt x som variabel?

alm? skrev:

hur kan dx ersättas av ett uttryck? dx betyder ju bara "med avseende på x", det har ju inget värde. och fattar fortfarande inte varför man deriverar, tyvärr :(

Nej, dx är en differential och betyder inte enbart "med avseende på x".

Du kan se dx som "bredden" på de rektanglar i vilka vi delar upp området vars area motsvarar integralen.

Vi har haft en liknande fråga uppe tidigare. Läs här.

alm? skrev:

Albiki skrev:

Hej,

Integralen

    $\displaystyle\int f(x)\,dx$

ersätts med integralen

    $\displaystyle\int f(g(u)) g'(u)\,du$

där substitionen är $x=g(u).$ För dig är $g(u) = \frac{a-u}{b}.$ Det är på grund av Kedjeregeln som den nya integranden blir $f(g(u))g'(u)$.

jag förstår inte, hur ska jag tänka för att implementera kedjeregeln baklänges? tidigare har jag bara använt den när jag deriverat. och varför blir $g\left(u\right)=\frac{a-u}{b}$? u är ju a – bx

Ja det stämmer att $u=a-bx$, men substitutionen handlar om att ersätta $x$ med ett uttryck involverande $u$, alltså att skriva $x=g(u)$ med en lämplig funktion $g.$ Att $u=a-bx$ är samma sak som att $x=(a-u)/b$ varför $g(u) = (a-u)/b$ i detta fall.

Angående Kedjeregeln kan du tänka på följande sätt.

Integralen $\int f(x)\,dx$ är en funktion av $x$; en så kallad primitiv funktion $F(x).$

• Derivatan ger integranden, det vill säga $F^\prime(x) = f(x).$

Då man använder substitutionen $x=g(u)$ kommer detta att få konsekvenser för den primitiva funktionen, som då blir en sammansatt funktion $F(g(u)).$

• Derivatan ger integranden, det vill säga att Kedjeregeln ger derivatan med avseende på $u$ att bli

    $F^\prime(g(u)) \cdot g^\prime(u) = f(g(u)) \cdot g^\prime(u).$

Resultat:

    $\displaystyle\int f(g(u))\cdot g^\prime(u)\,du = F(g(u)).$

(Det ser väldigt fult ut med de enorma parenteserna som skapas när man använder \displaystyle. Jag hoppas att administrationen kan åtgärda detta någon gång i framtiden.)

Albiki skrev:

...

Resultat:

    $\displaystyle\int f(g(u))\cdot g^\prime(u)\,du = F(g(u)).$

(Det ser väldigt fult ut med de enorma parenteserna som skapas när man använder \displaystyle. Jag hoppas att administrationen kan åtgärda detta någon gång i framtiden.)

 Bara för att kolla hur det ser ut utan displaystyle:

$\int f(g(u))\cdot g^\prime(u)\,du = F(g(u))$

och med displaystyle bara på integraltecknet:

 $\displaystyle\int$ $f(g(u))\cdot g^\prime(u)\,du = F(g(u))$

jag fattar nu! jättefint med kedjeregeln baklänges, nu går det ihop. och wow, har lärt mig nåt helt nytt om betydelsen av dx. tusen tusen tack!