Derivera f(x)=cos(9x)^(Sin(4x))

börja med att använda e^[ln(a)]=a

Jvpm skrev:

Hej!

Jag har svårt att identifiera de olika delfunktionerna som $f\left(x\right)=\cos {\left(9x\right)}^{\sin \left(4x\right)}$ är uppbyggd av.

Jag tänkte att den inre funktionen är $g\left(x\right)={\left(9x\right)}^{\sin \left(4x\right)}$  som i sin tur är uppbygd av $9x$ och $\sin \left(4x\right)$ som i sin tur har $4x$ som inre funktion. Men det hela blir lite rörigt och jag skulle behöva hjälp med att strukturera upp uppgiften för att sen kunna bestämma $f\text{'}\left(x\right)$.

Det jag själv brukar göra är att vara extra tydlig med parenteserna, och arbetar mig sedan långsamt inåt:

$f\left(x\right)={\left[\cos \right(9x\left)\right]}^{\sin \left(4x\right)}=e^{\ln (\cos {\left(9x\right))}^{\sin \left(4x\right)}}=e^{\sin \left(4x\right)*\ln (\cos \left(9x\right))}$

Låt oss nu anta att vi från början hade en funktion g(x) = e^x. Vi definierar även exponenten som en egen funktion, h(x) = sin(4x)*ln(cos(9x)).

Om vi låter x  = h(x) och stoppar in detta i funktionen för g(x) kommer vi få att g(h(x)) = f(x). Vi substituerar alltså helt enkelt ut x mot sin(4x)*ln(cos(9x)).

Men det är även det en funktion i sig, och dessutom en produkt, där vi kommer få behöva använda både produkt - och kedjeregeln.

Vi vet att derivatan av e^x är densamma som e^x, så när vi därför deriverar f(x) kommer vi till en början ha: 

$e^{\sin \left(4x\right)*\ln (\cos \left(9x\right))}$

Vi deriverar därefter exponenten, och som jag tidigare sa, arbetar vi oss alltså inåt:

$e^{\sin \left(4x\right)*\ln (\cos \left(9x\right))}\left[4\cos \right(4x\left)\ln \right(\cos \left(9x\right)) + \sin \left(4x\right)*\frac{1}{\cos \left(9x\right))}*(-9)\sin \left(9x\right)]$

Testa sedan att förenkla själv. Jag hoppas att jag varit tydlig, som sagt, när du får funktioner upphöjda till funktioner, försök alltid att skriva om det till basen e. Funktionen blir då mycket mer lätthanterlig, just eftersom att derivatan av e^x är ganska enkel att derivera :)

Tack till både oneplusone2 och johannes121! Nu har jag (återigen, suck...) lärt mig nyttan med e samt fått en bra struktur. Tack!