Derivera bråk

kalle.p skrev :

Behöver hjälp att derivera bråk, finns det någon bra regel man kan tänka på? Hur skulle man derivera uttryck med x i både täljare och nämnare, t.ex. 25x^2/x?

Ja det finns en deriveringsregel som är speciellt avpassad för kvoter.

(men i just ditt exempel så behövs inte den eftersom 25x^2/x ju kan förkortas till 25x  :-) )

Ett tips när du deriverar och tycker att det ser krångligt ut är att kolla ifall det går att förenkla uttrycket eller skriva om det på ett sätt som ser mer aptitligt ut för dig, t.ex. förkorta med x som Yngve nämner. Om du till exempel skriver om (någonting)/(någonting annat) till (någonting) * (någonting annat)^(-1) får du en multiplikation att jobba med istället för en division - om nu det faller dig bättre i smaken.

Grundregeln för derivering av $C*x^a$   är ju att derivatan blir $aC*x^{a-1}$ 

Exempel:
Derivatan av $2*x^5är$$10*x^4$.

Vanliga saker som krånglar till detta:
A) X i nämnaren, exempelvis $\frac{5}{x}$

B) Man har inte en ren potens av X, exempelvis $\sqrt{x}$

C) En kombination av de ovan.

Vi börjar med alternativ A. För att genomskåda det här går vi tillbaks till grunden i vad potenser innebär.
$x^3=x*x*x$ Ok, det var ju relativt basic. Låt oss ta det en nivå längre:

$\frac{x^5}{x^3}=\frac{x*x*x*x*x}{x*x*x}=\left(förkortar\right)=\frac{x*x}{1}=x*x=$$x^2$. Vilket ger oss räkneregeln $\frac{x^5}{x^3}=x^{5-3}=x^2$. Denna har du säkert sett i en formelsamling.

Enligt samma resonemang har vi  $\frac{x^3}{x^5}=\frac{x*x*x}{x*x*x*x*x}=\left(förkortar\right)=\frac{1}{x*x}=\frac{1}{x^2}$

Nu nyttjar vi den räkneregel som vi visade ovan, vilket ger oss att $\frac{x^3}{x^5}=(enligtrege\ln )=x^{3-5}=x^{-2}$

Det innebär att $\frac{1}{x^2}=x^{-2}$ Vilket är den regel man tar till för att flytta upp x över bråkstrecket.

To be continued...

■

Stakethinder skrev :

Grundregeln för derivering av $C*x^a$   är ju att derivatan blir $aC*x^{a-1}$ 

Exempel:
Derivatan av $2*x^5är$$10*x^4$.

Vanliga saker som krånglar till detta:
A) X i nämnaren, exempelvis $\frac{5}{x}$

B) Man har inte en ren potens av X, exempelvis $\sqrt{x}$

C) En kombination av de ovan.

 

Vi börjar med alternativ A. För att genomskåda det här går vi tillbaks till grunden i vad potenser innebär.
$x^3=x*x*x$ Ok, det var ju relativt basic. Låt oss ta det en nivå längre:

$\frac{x^5}{x^3}=\frac{x*x*x*x*x}{x*x*x}=\left(förkortar\right)=\frac{x*x}{1}=x*x=$$x^2$. Vilket ger oss räkneregeln $\frac{x^5}{x^3}=x^{5-3}=x^2$. Denna har du säkert sett i en formelsamling.

Enligt samma resonemang har vi  $\frac{x^3}{x^5}=\frac{x*x*x}{x*x*x*x*x}=\left(förkortar\right)=\frac{1}{x*x}=\frac{1}{x^2}$

Nu nyttjar vi den räkneregel som vi visade ovan, vilket ger oss att $\frac{x^3}{x^5}=(enligtrege\ln )=x^{3-5}=x^{-2}$

Det innebär att $\frac{1}{x^2}=x^{-2}$ Vilket är den regel man tar till för att flytta upp x över bråkstrecket.

To be continued...

 

 

 

 

 

■

Ok, så efter att ha gjort en repetion av potensreglerna har vi kommit fram till att $\frac{1}{x^a}=x^{-a}$

Derivatan av $x^{-a}är-a*x^{-a-1}$.

Exempel:
Vad är derivatan av $\frac{5}{x^3}$?

Lösning:

Först skriver vi om så att vi inte har några x under bråkstrecket.

$\frac{5}{x^3}=5*\frac{1}{x^3}=(nyttjarrege\ln ovan)=5*x^{-3}$

Sedan deriverar vi. Derivatan av $5*x^{-3}är-3*5*x^{-4}=-15*x^{-4}$

Vi har ett svar, men skriver om det så det är snyggare genom att använda potensregeln baklänges.

$-15*x^{-4}=-15*\frac{1}{x^4}=\left(förenklar\right)=\frac{-15}{x^4}$

Det här är en av de allra vanligaste (om inte det allra vanligaste) hinder att ta sig över vad gäller derivering. Att veta kopplingen mellan negativ potens och bråkstrecket är skillnaden mellan om det är lätt eller om det är snudd på omöjligt att klara dessa uppgifter.

Vi går vidare med det andra vanliga scenariot, ovan nämnt B. Det är inte en del av den uppgift som frågats efter, men besvarar bifrågan "angående bra metodiker att lösa deriveringsproblem.

Även denna gång kommer vi göra en enkel härledning av en potensregel föratt påvisa hur naturligt sambandet som först verkar konstigt faktiskt är.

Problem:

"Vad är derivatan av $\sqrt{x}$?"

Den första deriveringsregeln man kommer i kontakt med (ja, det finns fler) är bara applicerbar på polynom (dvs av formen $a+bx+c{x}^2+d{x}^3+....$). Och det räcker långt! Vi kan nämligen enkelt skriva om $\sqrt{x}$ som en potens. För att se hur det går till går vi tillbaks till själva grunden för vad en potens är. Vi har exempelvis att $x^3=x*x*x$. Detta ger att $x^3*x^2=x*x*x*x*x=(enligtsammaprincipbaklänges)=x^5$

Inget konstigt med det, det faller ut automatiskteftersom det är detta potenser innebär. Om vi jämför vad vi började med längst till vänster med det som föll ut till höger kan vi sammanfatta $x^3*x^2=x^5$

Ur detta faller naturligt en potensregel ut, nämligen att $x^a*x^b=x^{a+b}$ .(*)

Men hur nyttjar vi detta för att skriva om $\sqrt{x}$ till en potens?

Vi vet  att $\sqrt{x}*\sqrt{x}=x$ per definition. Om $\sqrt{x}$ kan skrivas om som ett polynom så behöver vi hitta dess exponent (dvs det som x då är upphöjt till). Vi gör ansatsen $\sqrt{x}=x^c$ och sätter in i sambandet ovan:

$\sqrt{x}*\sqrt{x}=\left(ansats\right)=x^c*x^c=x$

Vi nyttjar nu potensregeln vi härledde ovan och får $x^c*x^c=x^{c+c}=\left(förenklar\right)=x^{2c}$. Nu är vi nästan i mål. Vi har kommit fram till att $x^{2c}=x=(perdefinition)=x^1$. Det betyder att 2c=1.

Alltså är $c=\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.$. Vår ansats var att $\sqrt{x}=x^c$, och vi har alltså visat att $\sqrt{x}=x^{\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}$.

Observera att detta är ett samband, inte en ekvation. Det är alltså sant för Alla x. Och detta är alltså det andra mycket viktiga sambandet man behöver för att kunna lösa många deriveringsuppgifter.

Exempel:

"Vad är derivatan av $\sqrt{x}$?"

Lösning:

Vi skriver om enligt det samband vi visat ovan. $\sqrt{x}=x^{\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}$.

Vi deriverar sedan som vanligt genom att flytta ner exponenten och därefter minska exponenten med 1.

Derivatan av $x^{\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}$ är $\frac{1}{2}{x}^{\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.-1}=\frac{1}{2}{x}^{\raisebox{1ex}{$-1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}$.

Vi har nu redan ett svar, men vi snyggar till det mha regeln för potenser med negativa exponenter (som vi härledde under A).

$\frac{1}{2}*x^{\raisebox{1ex}{$-1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}=\frac{1}{2}*\frac{1}{x^{{\displaystyle \raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}}}=(nyttjarsambandetvinyssvisat)=\frac{1}{2}*\frac{1}{\sqrt{x}}=\left(förenklar\right)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

*: Extra!

Vi såg tidigare att $\frac{x^a}{x^b}=x^{a-b}$ vilket resulterade i att $\frac{1}{x^b}=x^{-b}$. Om vi nyttjar den omskrivningen först och använder potensregeln för multiplikation av potenser får vi $\frac{x^a}{x^b}=(omskrivningavnämnaren)=x^a*x^{-b}=(nyttjarregelvihärleddevid*)=x^{a-b}$

Vi får alltså samma resultat oavsett vilken av potensreglerna vi använder. Om så inte varit vfallet så hade något givetvis varit fel.