Derivera

När du skriver att du började med att derivara den första ekvationen, menar du då att du derivarar den första termen, d v s $\frac{2x}{\sqrt{1+x^2}}$? Det finns ingen ekvation i uppgiften - en ekvation måste innehålla ett likhetstecken, annars är det ingen ekvation. Det du skall derivaraär en funktion som består av två termer. Vad är det för regel du använder när du deriverar?

ja precis det är den delen jag började med. Jag tänkte använda produktregeln så därför började jag med f´(x)g(x)-f(x)g´(x)

Vad har du som f och g om du använder produktregeln? 

JnGn skrev :

ja precis det är den delen jag började med. Jag tänkte använda produktregeln så därför började jag med f´(x)g(x)-f(x)g´(x)

Det fungerar alldeles utmärkt. Men du får tänka på att du har det på formen $\dfrac{f(x)}{g(x)}$ och inte $f(x)g(x)$.

woozah skrev :

JnGn skrev :

ja precis det är den delen jag började med. Jag tänkte använda produktregeln så därför började jag med f´(x)g(x)-f(x)g´(x)

 

Det fungerar alldeles utmärkt. Men du får tänka på att du har det på formen $\dfrac{f(x)}{g(x)}$ och inte $f(x)g(x)$.

okej men är inte formeln för derivata vid division $\left(\frac{f}{g}\right)\left(x\right)=\frac{f´\left(x\right)g\left(x\right)-f\left(x\right)g´\left(x\right)}{g{\left(x\right)}^2}$ hur menar du att man ska göra istället?

Första termen går att skriva som 

$2x(1+x^2{)}^{\frac{-1}{2}}$

Sen är det ok att använda produktregeln

JnGn skrev :

okej men är inte formeln för derivata vid division $\left(\frac{f}{g}\right)\left(x\right)=\frac{f´\left(x\right)g\left(x\right)-f\left(x\right)g´\left(x\right)}{g{\left(x\right)}^2}$ hur menar du att man ska göra istället?

Jo, och den brukar kallas kvotregeln. 

Produktregeln är $f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$.

okej, blandade ihop dom, men hur ska man veta när man ska använda vilken regel? finns det något bra sätt att tänka ut det.

Om det är en produkt - använd produktregeln. 

Om det är en kvot - använd kvotregeln. 

Om det är en sammansatt funktion - använd kedjeregeln. 

Ibland behöver man använda flera regler i samma funktion. 

okej då förstår jag men hur ska man gå från $\frac{2}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{2x^2}{\sqrt{1+x^2}}-\frac{1}{1+x^2}$ till $\frac{2}{{\left(1+x^2\right)}^{3/2}}-\frac{1}{1+x^2}$

Förläng de båda första termerna med $1+x^2$. Förenkla.

men får man inte då $\frac{2x^2+1}{1+x^2}$

Fel av mig - jag trodde du hade deriverat rätt, men det har du inte.

Vad är f(x)? Vad är f'(x)? Vad är g(x)? är g'(x)? Vad blir det när du sätter ihop det med kvotregeln?

Hej!

Din funktion kan skrivas som en differens av två funktioner, $f(x) - g(x)\ ,$ där

    $f(x) = \frac{2x}{\sqrt{1+x^2}}$ och $g(x) = \arctan x.$

Differensens definitionsmängd är lika med mängden av alla reella tal, så $x$ kan beteckna vilket reellt tal som helst.

Funktionens derivata är lika med differensen

    $f'(x) - g'(x)$

där derivatan $f'$ beräknas med Kvotregeln och med Kedjeregeln.

• Derivatan $g'$ beräknas direkt till att vara funktionen $g'(x) = \frac{1}{1+x^2}\ .$

Derivatan $f'$ är lika med

    $f'(x)=\frac{2\sqrt{1+x^2}-2x\cdot \frac{2x}{2\sqrt{1+x^2}}}{1+x^2}$

som förenklas till

    Error converting from LaTeX to MathML{2}}}\ .

Om du noterar att $\frac{1}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}}$ är samma sak som $(g'(x))^{\frac{3}{2}}$ så kan derivatan $f'(x) - g'(x)$ skrivas såhär.

    $f'(x) - g'(x) = 2(g'(x))^{\frac{3}{2}} - g'(x) = g'(x) \cdot (2\sqrt{g'(x)} - 1)\ .$

Detta sätt att skriva derivatan på kommer att underlätta för dig när det gäller att bestämma de kritiska punkterna till funktionen $f(x) - g(x)\ .$ 

Som du ser är derivatan lika med noll när $g'(x) = 0$ eller när $2\sqrt{g'(x)} = 1\ .$ Eftersom derivatan $g'$ alltid är positiv (varför?) så måste det vara så att $2\sqrt{g'(x)} = 1$ då $x$ är en kritisk punkt. För vilka reella tal $x$ är talet $2\sqrt{g'(x)}$ lika med 1?

Albiki

jag förstår inte riktigt varför ska man ta $2{\left(g´\left(x\right)\right)}^{3/2}-g´\left(x\right)$ hur får vi fram det?

för kritiska punkten sätter jag $\sqrt{g´\left(x\right)}=\frac{1}{2}$ och sedan $g´\left(x\right)=\frac{1}{4}$

Hej!

Eftersom $g'(x) = \frac{1}{1+x^2}$ och $f'(x) = 2 \cdot\frac{1}{(1+x^2)^{3/2}}$ så kan man skriva $f'(x) = 2 \cdot (g'(x))^{3/2}\ .$

Varför gör man detta? För att skriva den sökta derivatan

    $2 \cdot\frac{1}{(1+x^2)^{3/2}} - \frac{1}{1+x^2}$

på en form som underlättar att besvara frågan om vilka de kritiska punkterna är.

Albiki