Derivera

Använd dig av kedjeregeln när du deriverar $arc\tan \left(\sqrt{x}\right)$, den inre funktion är $\sqrt{x}$ och yttre är arctan(x).

Tips: kedjeregeln används när du har en yttre och inre funktion som ska deriveras.

okej då fick jag $\frac{1}{x^2+1}\times \sqrt{x}\times \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Det blev inte helt korrekt. Utan om du har att

$$\begin{gathered} f\left(x\right)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}arc\tan \left(x\right), \\ g\left(x\right)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}\sqrt{x} \end{gathered}$$

Så gäller det att

$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}\frac{1}{1 + x^2,} \\ g\text{'}\left(x\right)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}\frac{1}{2\sqrt{x}} \end{gathered}$$

Nu säger kedjeregeln att

$\frac{d}{dx}f\left(g\right(x\left)\right) =\hspace{0.17em}f\text{'}\left(g\right(x\left)\right)g\text{'}\left(x\right)$

Så sätt in uttrycken du har för f', g och g' i detta och förenkla.

okej  fick jag $\frac{1}{2\sqrt{x}\left(x+1\right)}$

Det är korrekt, sedan använder du att $x\sqrt{x} =\hspace{0.17em}{x}^{3/2}$ och deriverar det.

sedan fick jag $\sqrt{x}\times \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Jag antar att det var $x\sqrt{x}$ du deriverade när du fick det där? Det stämmer inte riktigt, du kan göra på två sätt, antingen använder du produktregeln och man får att

$\frac{d}{dx}x\sqrt{x} =\hspace{0.17em}\sqrt{x} + x\frac{1}{2\sqrt{x}}$

Eller så använder man att $x\sqrt{x} =\hspace{0.17em}{x}^{3/2}$ och deriverar så man får

$\frac{d}{dx}{x}^{3/2}= \frac{3}{2}{x}^{1/2} =\hspace{0.17em}\frac{3\sqrt{x}}{2}$

då får jag $\frac{1}{2\sqrt{x}\left(x+1\right)}-\frac{3\sqrt{x}}{2}\Rightarrow -\frac{3\sqrt{x}}{2}+\frac{1}{2\sqrt{x}\left(x+1\right)}=-\frac{3\sqrt{x}\sqrt{x}\left(x+1\right)+1}{2\sqrt{x}\left(x+1\right)}=-\frac{3x\left(x+1\right)+1}{2\sqrt{x}\left(x+1\right)}$

men det är ju inte riktigt vad svaret ska bli

Du har missat att det är 6arctan(x). Så det blir

$\frac{6}{2\sqrt{x}(1 + x)} - \frac{3\sqrt{x}}{2}$

Hej!

Funktionen som ska deriveras kan skrivas som differensen

    $f(g(x)) - h(x)$

 där funktionen

    $h(x) = x\sqrt{x} = x^{1.5}$

och funktionen

    $g(x) = \sqrt{x}$

och funktionen

    $f(x) = 6\arctan x.$ 

Kedjeregeln ger derivatan

    $f'(g(x))\cdot g'(x) - h'(x)$.

De individuella derivatorna är

    $h'(x) = 1.5x^{0.5} = 1.5\sqrt{x}$

och

    $g'(x) = 0.5x^{-0.5}$

och

    $f'(x) = \frac{6}{1+x^2}.$ 

Sätt samman de enskilda beräkningarna enligt Kedjeregeln för att få den sökta derivatan. 

    $\frac{6}{1+x}\cdot 0.5x^{-0.5} - 1.5\sqrt{x} = \frac{3}{\sqrt{x}(1+x)}-\frac{3}{2}\sqrt{x} .$

Albiki

okej, då är jag nästan med, jag får $\frac{3}{\sqrt{x}\left(1+x\right)}-\frac{3}{2}\sqrt{x}=\frac{6-3\sqrt{x}\sqrt{x}\left(1+x\right)}{2\sqrt{x}\left(1+x\right)}=\frac{-3\left(1+x\right)}{2\sqrt{x}\left(1+x\right)}$ men det ska ju även vara (x+2) mellan 3 och x-1

$$\begin{gathered} \frac{6}{2\sqrt{x}(x + 1)}-\frac{3\sqrt{x}}{2}=\frac{6 - 3x(x + 1)}{2\sqrt{x}(x + 1)} \\ =\frac{-3(x^2 + x - 2)}{2\sqrt{x}(x + 1)}=\frac{-3(x + 2)(x - 1)}{2\sqrt{x}(x + 1)} \end{gathered}$$