Derivera

Det blir kedjeregeln, men två gånger:

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=g\left(h\right(j\left(x\right)\left)\right) \\ f\left(x\right)=\ln \left(\sqrt{x^2+1}\right) \end{gathered}$$

Alltså att $g\left(x\right)=\ln x$, $h\left(x\right)=\sqrt{x}$ och $j\left(x\right)=x^2+1$. När du använder kedjeregeln måste du ta hänsyn till att den inre funktionen i sig är en sammansatt funktion. Hur blir formeln för derivatan?

Det är inte produktregeln utan kedjeregeln du skall använda. Det du missar är att du måste använda kedjeregeln när du deriverar h(x).

Hej!

Produktregeln behöver inte användas här, du har inte funktionen på formen $h\left(x\right)=g\left(x\right)f\left(x\right)$, utan du har den på formen $f\left(g\right(x\left)\right)$, alltså en sammansatt funktion. Det är dock så att även $g\left(x\right)$ är en sammansatt funktion. 

Låt $f\left(x\right)=\ln \left(\sqrt{x^2+1}\right)$, och $g\left(x\right)=\ln \left(x\right), h\left(x\right)=\sqrt{x}, r\left(x\right)=x^2+1$, då är $f\left(x\right)=g\left(h\right(r\left(x\right)\left)\right)$, är du med på det?

Så din uppgift är att bestämma $f\text{'}\left(x\right)=\frac{d}{dx}\left(g\right(h\left(r\right(x\left)\right))$. Jobba utifrån-in så tror jag du fixar det!

Dina funktionsnamn är inte desamma som mina, men det spelar ingen roll. 

Nää alltså det tar stopp direkt. 

Blev det rätt nu?

Har du inget facit? Det ser rätt ut men om man skall klaga lite på din lösning skall du inte skriva att g(x) = ln(x) utan ln (v) till exempel. (och så vidare med övriga delfunktioner) Det vet du, du gjorde det ju i din första lösning.

I och för sig så är ditt förslag om att förenkla först inte dumt det heller. Skriv om roten ur som en potens, använd en logaritmlag och du får kedjeregeln en gång, inte två,  och ändå samma svar.

Hej!

Du har funktionen $f(x)=g(h(k(x)))$ där $k(x) = x^2+1$ och $h(x) = \sqrt{x}$ och $g(x)=\ln x$. 

Kedjeregeln ger derivatan $f^'$ som en produkt. 

    $f^'(x) = g^'(h(k(x)))\cdot h^'(k(x))\cdot k^'(x)$.

De individuella derivatorna är $g^'(x)=1/x$ och $h^'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ och $k^'(x)=2x$. Nu behöver du bara sätta in och förenkla!

Menar du så med delfunktionerna? Eller blev det helt konstigt nu?

Det är bättre då du inte använder x till flera olika saker men det är fortfarande lite svårt att hänga med. Något såhär:

$$\begin{gathered} f\left(x\right) = \ln \left(g\right(x\left)\right) f\text{'}\left(x\right) = \frac{1}{g\left(x\right)}g\text{'}\left(x\right) \\ g\left(x\right) = \sqrt{h\left(x\right)} g\text{'}\left(x\right) = \frac{1}{2\sqrt{h\left(x\right)}}h\text{'}\left(x\right) \\ h\left(x\right) = x^2+1 h\text{'}\left(x\right) =2x \end{gathered}$$

Sedan kan du bara sätta ihop allting

Det ser ut att stämma. Med mina beteckningar får man resultatet

    $f'(x) = \frac{1}{h(k(x))}\cdot \frac{1}{2\sqrt{k(x)}} \cdot 2x = \frac{1}{\sqrt{k(x)}} \cdot \frac{x}{\sqrt{k(x)}} = \frac{x}{k(x)} = \frac{x}{1+x^2}.$

Ok, det va krångligt, men tackar så mycket för hjälpen :)

Jo men som jag var inne på ovan, och som du funderade på i ditt första inlägg så kan man göra den enklare genom att skriva om funktionen med logaritmlagarna innan man deriverar.

Om vi skriver: $\ln \left(\sqrt{x^2+1}\right)=\ln (x^2+1{)}^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\ln (x^2+1)$ så får vi en enkel kedjeregel för att ta fram derivatan. Då får vi alltså $\frac{1}{2}\frac{1}{x^2+1}2x=\frac{2x}{2(x^2+1)}=\frac{x}{x^2+1}$. Vilket ju verkar lite enklare.

Det intressanta här blir ju att vi egentligen då kan ta fram en generell derivata för $f\left(x\right)=\ln \left(g\right(x){)}^n$. Baserat på vad vi gjort ovan kan vi visa att denna derivata kommer att bli $f\text{'}\left(x\right)=n\frac{g\text{'}\left(x\right)}{g\left(x\right)}$

Det går också att använda implicit derivering:

$e^{f(x)}=\sqrt{x^2+1}$

$e^{2f(x)}=x^2+1$

$\frac{d}{dx}e^{2f(x)}=\frac{d}{dx}(x^2+1)$

$e^{2f(x)}\cdot 2f'(x)=2x$

$f'(x)=xe^{-2f(x)}$

$f'(x)=x\cdot (x^2+1)^{-1}$

$f\text{'}\left(x\right)=\frac{x}{x^2+1}$