Derivator och terasspunkter
Hej! Varför räcker det inte med att ta reda på första derivatan för att kunna avgöra om en graf är en terrasspunkt?
Tänk dig att andra derivata förklarar en grafs trend. När andra derivatan är positiv bör det vara en minipunkt och om den är negativ en maxpunkt. Om man får reda på att andra derivatan alltså trenden av grafen är 0 har den varken ett Max eller ett min därmed terasspunkt.
akuthjälphär skrev:Tänk dig att andra derivata förklarar en grafs trend. När andra derivatan är positiv bör det vara en minipunkt och om den är negativ en maxpunkt. Om man får reda på att andra derivatan alltså trenden av grafen är 0 har den varken ett Max eller ett min därmed terasspunkt.
Så vad talar förstaderivatan om för information om grafen?
Ha en fin dag skrev:akuthjälphär skrev:Tänk dig att andra derivata förklarar en grafs trend. När andra derivatan är positiv bör det vara en minipunkt och om den är negativ en maxpunkt. Om man får reda på att andra derivatan alltså trenden av grafen är 0 har den varken ett Max eller ett min därmed terasspunkt.
Så vad talar förstaderivatan om för information om grafen?
Första derivatan av en funktion talar om funktionens lutning vid varje punkt. Därmed kan man sätta f’(x) = 0 för att få ut Max eller min då det inte finns någon lutning vid dessa punkter.
Att kurvan varken lutar uppåt eller neråt i just den punkten, men ingenting om hur det är i närheten.
Då är jag med. Tack så mycket !
akuthjälphär skrev:Tänk dig att andra derivata förklarar en grafs trend. När andra derivatan är positiv bör det vara en minipunkt och om den är negativ en maxpunkt. Om man får reda på att andra derivatan alltså trenden av grafen är 0 har den varken ett Max eller ett min därmed terasspunkt.
Det här stämmer inte alltid.
Andraderivatan kan vara lika med 0 trots att det inte är en terrasspunkt.
Exempel: f(x) = x4 har derivatan f'(x) = 4x3 och andraderivatan f''(x) = 12x2.
Denna funktion har en minimipunkt vid origo, trots att både första- och andraderivatan har värdet 0 där.
Följande gäller:
Om f'(x1) = 0 så har f(x) en stationär punkt (dvs antingen en minimi-, en maximi- eller en terrasspunkt) vid x = x1. Då gäller att
- om f''(x1) > 0 så är det en minimipunkt.
- om f''(x1) < 0 så är det en maximipunkt.
- om f''(x1) = 0 så måste vi använda någon annan metod för att ta reda på vilken slags stationär punkt det är frågan om. Det kan vara med hjälp av en teckentabell, att undersöka funktionsvärden vid och nära f(x1) eller någon annan metod.
Läs gärna mer om andraderivatan här.
Yngve skrev:akuthjälphär skrev:Tänk dig att andra derivata förklarar en grafs trend. När andra derivatan är positiv bör det vara en minipunkt och om den är negativ en maxpunkt. Om man får reda på att andra derivatan alltså trenden av grafen är 0 har den varken ett Max eller ett min därmed terasspunkt.
Det här stämmer inte alltid.
Andraderivatan kan vara lika med 0 trots att det inte är en terrasspunkt.
Exempel: f(x) = x4 har derivatan f'(x) = 4x3 och andraderivatan f''(x) = 12x2.
Denna funktion har en minimipunkt vid origo, trots att både första- och andraderivatan har värdet 0 där.
Följande gäller:
Om f'(x1) = 0 så har f(x) en stationär punkt (dvs antingen en minimi-, en maximi- eller en terrasspunkt) vid x = x1. Då gäller att
- om f''(x1) > 0 så är det en minimipunkt.
- om f''(x1) < 0 så är det en maximipunkt.
- om f''(x1) = 0 så måste vi använda någon annan metod för att ta reda på vilken slags stationär punkt det är frågan om. Det kan vara med hjälp av en teckentabell, att undersöka funktionsvärden vid och nära f(x1) eller någon annan metod.
Läs gärna mer om andraderivatan här.
Tusen tack 🙏
