Derivator och integraler (Matematik/Matte 4)

Absolutbelopptecknen betyder samma sak även i det fallet.

$|x-4|=x-4$ om $x-4\geq0$ , dvs då $x\geq4$ .
$|x-4|=-(x-4)$ om $x-4<>$ , dvs då $x<>$ .

Kommer du vidare då?

Skissa grafen. Sen lär du behöver använda $A=bh/2$

Yngve skrev:
Absolutbelopptecknen betyder samma sak även i det fallet.

$|x-4|=x-4$ om $x-4\geq0$ , dvs då $x\geq4$ .

$|x-4|=-(x-4)$ om $x-4<>$ , dvs då $x<>$ .

Kommer du vidare då?

Nja jag tror inte jag riktigt förstår. Ska jag separat skissa grafen x-4? där de negativa y värden ska jag istället rita som positiva? Men vad händer med tvåan? det står ju 2-|x-4|

Du kan dela in x -axeln i två intervall:

I intervallet $x\geq4$ så är $|x-4|=x-4$ , så där gäller att $f(x)=2-(x-4)$ . Förenkla och rita den linjen (egentligen den "strålen") i det intervallet.
I intervallet $x<4$ så är $|x-4|=-(x-4)=4-x$ , så där gäller att $f(x)=2-(4-x)$ . Förenkla och rita den linjen (egentligen den "strålen") i det intervallet.

Ska jag alltså rita två stycken ”linjer” / grafer i ett koordinatsystem?

Nja, det är en sammanhängande graf som har ett "hörn" i en specifik punkt.

Som jämförelse kan vi titta på en graf du känner till, nämligen grafen till g(x) = |x-3|, som ju har ett hörn i punkten (3:0):

===========================

Grafen till f(x) = 2-|x-4| i din uppgift ser annorlunda ut, men likheten är att även den grafen består av två strålar (med andra riktningar) som utgår från ett "hörn" (på en annan plats).

Du kan konstruera grafen till f(x) på lite olika sätt. Jag beskrev ett sådant sätt i svar #5.

Den metoden bygger på att funktionsuttrycket för f(x) ser ut på ett sätt i intervallet $x\geq4$ och på ett annat sätt i intervallet $x<>$ .

Fördelen med den metoden att dela in x-axeln (definitionsmängden) i olika intervall är att den ofta går att använda även i mer avancerade uppgifter som involverar absolutbelopp.

Följ instruktionerna i svar #5 så kan vi visa ett annat sätt att tänka efter det.

Ser lite konstigt ut. Om du ritar funktionen y = |x|, hur ser den ut? Rita sen -|x|, hur ser den ut?

Hur ser |x-4| ut? 2-|x-4|?

Det går fort att rita strålarna i Geogebra, använd abs( ), t.ex. abs(x) för |x|

Hur kommer det sig att grafen blir negativ

Det står ju ett minustecken framför sbsolutbelopptecknet.

På samma sätt som -x² ser ut som en uppochnervänd x² så ser -|x-4| ut som en uppochnervänd |x-4|.

jag förstår inte vad det innebär med att det står ett minus tecken framför absolutbeloppet. Gäller det inte att ett absolut belopp alltid är positivt och aldrig negativ mindre än 0? Hur kommer de då sig att grafen går igenom negativa x och y värden?

Är du med på att y = x² ser ut som en glad mun och att den ligger ovanför x-axeln överallt utom i origo?
Är du med på att y = -x²ser ut som en ledsen mun och att den ligger under x-axeln överallt utom i origo?
Är du med på att y = |x| ser ut som ett V och att och att den ligger ovanför x-axeln överallt utom i origo?
Är du med på att y = -|x| ser ut som ett uppochnervänt V och att och att den ligger under x-axeln överallt utom i origo?

jag är med på alla steg förutom punkt 4

Gör då en värdetabell för y = -|x|.

Välj x-värden x = -2, x = 0 och x = 2.

Vilka y-värden ger det?

x= 2 fås y=-2

x=1 y=-1

x=-1 y=1

x=-2 y=2

Katarina149 skrev:
x= 2 fås y=-2

Det stämmer. |2| = 2 och därför är -|2| = -2

x=1 y=-1

Det stämmer. |1| = 1 och därför är -|1| = -1

x=-1 y=1

Det stämmer inte. |-1| = 1 och därför är -|-1| = -1

x=-2 y=2

Det stämmer inte. |-2| = 2 och därför är -|-2| = -2

alltså då -|x| och om vi tex säger att x=1 då blir

y = -|1| = -1

om x=-1 då blir y= -|-1| = -1

Ja det stämmer.

Du kan även tänka så här:

För alla tal $a$ gäller att $|a|\geq0$ .

Då måste det även gälla att $-|a|\leq0$ .

Är den här förenklingen alltså fel? För jag förenklar absolutbeloppen genom att göra om de till vanliga parentesen och därefter förenkla

Lite svårt att förstå vad du menar i lösningen. |x-4| är x-4 för x >= 4 och 4-x för x < 4.

Den uppdelningen ger de två strålarna du ser i Geogebra. Du har ritat ett antal olika strålar i din figur och skrivit f1, f2 m.m. utan att visa vad det är i figuren.

Här är ett förslag på hur du kan tänka när det gäller absolutbelopp.

Om du hänger med och förstår rankegångarna så kan du härma mitt sätt att skriva när du gör egna lösningar.

Då blir det

lättare för dina lärare att förstå hur du tänker
lättare för oss att hjälpa dig
lättare för dig själv att i efterskott gå igenom och kontrollera dina lösningar.

================

Vi delar in definitionsmängden i de två intervallen x < 4 och x $\geq$ 4.

Intervall 1:

I intervallet x < 4 gäller att x-4 < 0 och därför att |x-4| = -(x-4) = 4-x.

Funktionsuttrycket kan därför skrivas f(x) = 2-(4-x) = x-2 i detta intervall.

Vi ritar nu linjen y = x-2 i detta intervall:

Intervall 2:

I intervallet x $\geq$ 4 gäller att x-4 $\geq$ 0 och därför att |x-4| = x-4.

Ffunltionsuttrycket kan därför skrivas f(x) = 2-(x-4) = 6-x i detta intervall.

Vi ritar nu även in linjen y = 6-x i detta intervall:

Jag hängde inte riktigt med på vad du menade

Vad är det du inte hänger med på?

jag förstår inte vad du menar här :

Intervall 1:

I intervallet x < 4 gäller att x-4 < 0 och därför att |x-4| = -(x-4) = 4-x.

Funktionsuttrycket kan därför skrivas f(x) = 2-(4-x) = x-2 i detta intervall.

Vi ritar nu linjen y = x-2 i detta intervall:"

Vilket/vilka av dessa påståenden hänger du inte med på?

|x-4| = x-4 då x-4 $\geq$ 0, dvs då x $\geq$ 4
|x-4| = -(x-4) = 4-x då x-4 < 0, dvs då x < 4
Då x < 4 så kan uttrycket 2-|x-4| alltså skrivas 2-(4-x), vilket är samma sak som x-2
Då x < 4 så gäller alltså att f(x) = x-2
Grafen till f(x) = x-2 ser ut så här i intervallet x < 4:

Jag hänger till och börja med inte med på vad du menar i punkt 1

Det handlar om hur absolutbelopp fungerar.

Vilken/vilka av följande punkter är du inte med på?

|2| = 2, eftersom 2 $\geq$ 0
|-5| = 5, eftersom -5 < 0
|a| = a om a $\geq$ a
|a| = -a om a < 0

steg 4-5 hängde jag inte med på

Jag har ingen punkt 5.

Är du med på punkt 3 och 4?

Om inte, läs detta avsnitt, scrolla ner till rubriken "Absolutbelopp".

Eller titta på denna Youtubevideo.

Yngve skrev:
Jag har ingen punkt 5.

Är du med på punkt 3 och 4?

Om inte, läs detta avsnitt, scrolla ner till rubriken "Absolutbelopp".

Eller titta på denna Youtubevideo.

Hur menar nog 4 och 5 i #27 :)

Yngve skrev:
Jag har ingen punkt 5.

Är du med på punkt 3 och 4?

Om inte, läs detta avsnitt, scrolla ner till rubriken "Absolutbelopp".

Eller titta på denna Youtubevideo.

Jag har tittat på YouTube videon men jag fattar inte hur jag ska lösa frågan. jag menade att jag inte förstod steg 3-4

Förstod du det som står på Matteboken.se jag länkade till?
Förstod du förklaringen av absolutbelopp i Youtubevideon?
Förstår du nu punkt 3 och 4?

==================

Om du fortfarande behöver mer förklaring av punkt 3 ich 4 så kan du läsa vidare här:

Du förstod väl punktb1? Punkt 3 är bara en generalisering av punkt 1.
Dy förstod väl punkt 2? Punkt 4 är bara en generalisering av punkt 2.

======

Om du fortfarande behöver mer förklaring kan du läsa vidare här:

Punkt 3 med ord:

Om a är ett tal som är större än (eller lika med) 0 så är absolutbeloppet av a lika med a.
Exempel: |7| = 7, |0| = 0, |1425| = 1425 o.s.v.

Punkt 4 med ord:

Om a är ett tal som är mindre än 0 så är absolutbeloppet av a lika med -a.
Exempel: |-7| = 7, |-1| = 1, |-1425| = 1425 o.s.v.

========

Hur känns det nu, börjar du få grepp om hur ett absolutbelopp fungerar?

Du skrev att

”Om a är ett tal som är mindre än 0 så är absolutbeloppet av a lika med -a.” men sen skriver du att |-7|=7 ska det isf inte vara -7?

Katarina149 skrev:
Du skrev att

”Om a är ett tal som är mindre än 0 så är absolutbeloppet av a lika med -a.” men sen skriver du att |-7|=7 ska det isf inte vara -7?

Ja det är rätt det Yngve skriver.

Om $a=-4$ då är $|-4|=-\cdot -4=4$

Yngve skrev:
Det står ju ett minustecken framför sbsolutbelopptecknet.

På samma sätt som -x² ser ut som en uppochnervänd x² så ser -|x-4| ut som en uppochnervänd |x-4|.

Så om det står ett ”negativt” tecken framför absolutbeloppet så kommer ”funktionen” att vända upp och ner dvs i motsatt riktning. Så om det inte hade funnits ett minus tecken då skulle grafen inte se ut som på bilden .. Är det så du menar? Eller

Ja.

Exempel:

y = |x| ser ut så här:

y = -|x| ser ut så här:

Jaha alltså ska grafen bara ritas spegel vänt . Det här gäller enbart när det står ett negativt tecken framför absolutbeloppet

Det stämmer att grafen till f(x) är en spegelvändning av grafen till -f(x). Detta gäller generellt.

Okej! Då förstår jag