Derivator och förändringshastigheter

Ett timglas har formen av två koner placerade med spetsarna mot varandra. Från den övre konen till den undre rinner sand med hastigheten 1 cm3/s.

Den undre konens höjd är 10 cm och radien är 3 cm. Vi antar att sandytan i konen lägger sig helt platt, som bilden visar.

Hur snabbt ökar sandytans höjd över botten på konen då sandytans höjd är 4 cm över botten?

Påbörjad lösning.

Det handlar om att ställa upp ett samband, såsom

$\frac{d V}{d t} = \frac{d V}{d h} \cdot \frac{d h}{d t}$

Jag tänker spontant att dV/dt = 1.

h vet vi skall vara 4 cm.

Volym för en kon är ju $V = \frac{π r^{2} h}{3}$

Min tolkning av frågan är att vi söker dh/dt då h=4. Vi kan skaffa fram dV/dh genom att derivera volymen V med avseende på variabeln h, och får alltså då att

$\frac{d V}{d h} = \frac{π r^{2}}{3}$

Men då har vi inget h kvar att ersätta 4 med..

Så frågan är, var är felet, och hur ser korrekt lösning ut, tack.

Standardfråga 1a: Har du ritat?

Vad är sambandet mellan r och h?

Finns en bild i uppgiften, som jag dock inte kunde bifoga här.

Jadu, bra fråga..

Om du har en bild, så håller jag med Bubo om vad som är nästa steg.

Jag har försökt lösa uppgiften, men har ej lyckats, varför jag frågar om er hjälp, tack. Har försökt med ett par vägar, men tycks ej komma fram till rätt svar. Frågade dessutom min lärare som misstänker fel i facit, så behöver därför er hjälp tack.

Vi försöker hjälpa dig, men vi tänker inte göra dina uppgifter åt dig.

Visa hur du har försökt att ta fram sambandet mellan radien och höjden för sanden i den nedre delen av timglaset. Tänk på att den stora cirkeln är neråt och spetsen är uppåt.

Hej!

Sanden i den nedre konen har vid tidpunkten $t$ volymen

$v(t)=V-\frac{\pi r^2(t)(H-h(t))}{3}$ ,

där $V$ betecknar den nedre konens volym och $H$ betecknar den nedre konens höjd och $r(t)$ betecknar sandytans radie vid tidpunkten $t$ och $h(t)$ betecknar sandytans höjd över botten.

Du vill bestämma derivatan $h'(T)$ vid den tidpunkt $T$ då $h(T)=4$ centimeter och då derivatan $v'(T)=1$ kubikcentimeter per sekund.

Använd Kedjeregeln och Produktregeln för detta.

För att få ett samband mellan $r(t)$ och $h(t)$ notera att "luftkonen" i den nedre konen är likformig med den nedre konen.

Smaragdalena skrev:
Vi försöker hjälpa dig, men vi tänker inte göra dina uppgifter åt dig.
Visa hur du har försökt att ta fram sambandet mellan radien och höjden för sanden i den nedre delen av timglaset. Tänk på att den stora cirkeln är neråt och spetsen är uppåt.

Jag har inte bett om att ni ska göra mina uppgifter åt mig! Jag har presenterat en påbörjad lösning om hur jag tänkt, vilket ju är själva tanken när man ställer en fråga i detta forum?! Hade jag, som du påstår, velat att ni skulle lösa mina uppgifter, hade min enda fråga varit "Hur löser jag uppgiften" utan att ha ens presenterat en egen påbörjad lösning!

Nu vet jag inte hur jag fortsätter, så jag behöver hjälp helt enkelt, tack.

Hur många gånger skall vi berätta för dig vad nästa steg är? Den delen saknas helt i din lösning, och utan det sambandet kan du inte komma vidare.

Du vet att volymen för en kon är $V=\frac{\pi r^2 h}{3}$ , men $h$ i det uttrycket är inte det $h$ du är ute efter. Läs Albikis inlägg strax ovanför!

Uppenbarligen fattades det i min lösning, VARFÖR jag bad er om hjälp. Annars hade jag inte ställt min fråga här, som sagt! Så nu tackar jag Albiki för dennes lösning! Tack Albiki, till nästa gång vet jag hur jag skall tänka!

Jag har försökt få dig att tänka själv. Kom du fram till ett uttryck för sandens höjd som en funktion av r med hjälp av Alvikis tips? Hur ser sambandet ut?

Smaragdalena skrev:
Jag har försökt få dig att tänka själv. Kom du fram till ett uttryck för sandens höjd som en funktion av r med hjälp av Alvikis tips? Hur ser sambandet ut?

Ja, det bör då enligt likformighet för två trianglar kan vi tänka, bli

$r (t) = 3 - 0, 3 h (t)$

För framtida trådläsare:

Här har vi en bild över situationen (med Albikis beteckningar)

Det är viktigt att notera att sanden i den nedre delen av timglaset inte bildar en kon förrän sanden nått hela vägen upp.

Hmm.. jag får att h'(t)=0,31. Dock skall det enligt facit vara 0,0982. Utifrån Albikis samband ovan och det samband jag fick ut mellan r(t) och h(t), skall alltså h'(t) vara 0,31. Jag har inte gjort några aritmetiska fel, har gått tillbaka och kollat ett par gånger, och kontrollerat med räknaren.

Lägg upp dina beräkningar, så skall vi titta på dem.

Svara

Visa senaste svar