Derivator

Hej, jag förstår inte riktigt att derivatan av $e^{\frac{- 2}{x}}$ blir $\frac{- 2}{x^{2}} * e^{\frac{- 2}{x}}$ , då jag i gymnasiet fick lära mig följande räknelag att $e^{k x}$ blir $k e^{k x}$ deriverad. Enligt den lagen så blir derivatan av $e^{\frac{- 2}{x}}$ , i mina ögon, $\frac{- 2}{x} * e^{\frac{- 2}{x}}$ . Tacksamt om någon kunde förklara

Räkneregeln du nämner är helt korrekt men är inte tillämplig här.

$e^{\frac{- 2}{x}}$ är ju inte på formen $e^{k x}$ .

Det är regeln för derivata av sammansatt du får använda.

Vad är det du egentligen gör när du tillämpar räknelagen $\frac{d}{d x} e^{k x} = k e^{k x}$ ?

Jo, du multiplicerar med den inre derivatan. Derivatan av exponenten kx är k. Därför multiplicerar du funktionen med k.

Samma sak kan du applicera på den lite svårare funktionen $e^{- \frac{2}{x}}$

Alltså genom att multiplicera med derivatan av exponenten. Som är lika med $\frac{2}{x^{2}}$

Och eftersom det är en en exponentialfunktion förändras inte exponenten.

Allt som allt: $\frac{d}{d x} e^{- \frac{2}{x}} = \frac{2}{x^{2}} e^{- \frac{2}{x}}$

Alternativt bevis medelst implicit derivering.

$y=e^{-2/x}$

$\ln y = -\frac{2}{x}$

$\frac{d}{dx}\ln y=\frac{d}{dx}(-\frac{2}{x})$

$\frac{y'}{y}=\frac{2}{x^2}$

$y'=y\cdot \frac{2}{x^2}=\frac{2}{x^2}\cdot e^{-2/x}$

Svara

Visa senaste svar