Derivative vs differentiate? (Matematik/Universitet/Flervariabelanalys)

MrPotatohead skrev:
Hej!

Hade min första föreläsning i flervarre idag. Det verkar finnas en uppenbar och viktig skillnad mellan deriverbarhet och differentierbarhet. Hur löser man detta i engelskan där namnet för båda verkar vara differentiate?

Vet ej om detta hjälper

https://www.pluggakuten.se/trad/deriverbar-vs-differentierbar/

https://www.geeksforgeeks.org/difference-between-differential-and-derivative/

Hmm, borde läsa på innan jag svarar.

Om du har en flervariabelfunktion så kan du bestämma de partiella derivatorna (derivatives) i en punkt.
Det är i princip som envariabelderivator, du deriverar (differentiate) och får t ex df/dx = 2 och df/dy = 3. Du kan göra detsamma i godtycklig riktning, som när du står i en skidbacke – hur mycket skidorna lutar om de pekar åt t ex nordost eller åt västsydväst.

I svenskan har vi ordet differentierbar för flervariabelfunktioner. Det innebär inte bara att funktionen är deriverbar i alla riktningar, utan ännu mer; oavsett längs vilken skum spiral du nalkas punkten så blir det en ”smooth” landning. Jag har för mig att det heter differentiable på engelska, men är inte hundra.

Fast även om en flervariabelfunktion är differentierbar så beräknar vi inte ett värde för detta som vi gör med envariabelfunktioner där f’ i en punkt är t ex 4. Så det uppstår ingen konflikt på engelska.

Så tror jag det är. Rätta mig gärna. Denna fråga har legat i bakhuvudet och sovit flera decennier, vore kul att få bekräftat om jag har rätt.

Terminologin varierar nog lite, så det gäller att vara försiktig så att det inte uppstår missförstånd.

Jag tror alla är överens om att en funktion $F:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n$ är differentierbar [(totally) differentiable på engelska] om den lokalt kan approximeras väl med en linjär funktion $L:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n$ , i bemärkelsen att

$\displaystyle\lim_{\mathbf{h}\to \mathbf{0}} \frac{\Vert F(\mathbf{x}_0+\mathbf{h})−F(\mathbf{x}_0)−L(\mathbf{h})\Vert}{\Vert \mathbf{h}\Vert}=0$ för alla $\mathbf{x}_0$ i definitionsmängden.

Det här är nog inte fullt lika standard, men jag skulle säga att $F$ är partiellt deriverbar [partially differentiable på engelska] om den partiella derivaten

$\displaystyle\frac{\partial F}{\partial x_i}:=\lim_{h\to 0} \frac{F(x_1,\:\ldots\:,x_{i-1},\:x_i+h,\:\ldots\:,\:x_{i+1},\:x_m)-F(x_1,\ldots,x_m)}{h}$

existerar för alla $i\in\{1,\ldots,m\}$ och $\mathbf{x}$ i definitionsmängden.

Ett av resultaten man visar i en flervariabelkurs är att om $F$ är differentierbar så är $F$ även partiellt deriverbar, men omvändningen gäller inte.

För att undvika förvirring skulle jag helt undvika att använda begreppet "deriverbar" i flervariabelanalys-sammanhang. Däremot tycker jag det fungerar bra att säga "deriverbar" om $m=1$ , eftersom begreppen "partiellt deriverbar" och "differentierbar" då sammanfaller.

Hur definierar du/din lärare "deriverbar" för flervariabelfunktioner?

oggih skrev

”…om den lokalt kan approximeras väl med en linjär funktion…”

Men stämmer detta? Letar inte upp mina gamla analysböcker nu, men ”consider” funktionen f(x, y) som är 0 överallt utom längs kurvan y = x² där den är 1.

Den kan väl approximeras med en linjär funktion i alla riktningar. Men den är inte ens kontinuerlig i origo. Jag minns definitionen av differentierbarhet som något krångligt med roten ur (x²+y²) som jag aldrig riktigt greppade.

Marilyn skrev:
”…om den lokalt kan approximeras väl med en linjär funktion…”

Men stämmer detta?

Jag uttrycker mig lite löst där, men i nästa andetag preciserar jag mig!

När jag säger att $L$ lokalt approximerar $F$ "väl" så menar jag mer precist att "felet" när man gör approximationen

$F(\mathbf{x}_0+\mathbf{h})\approx F(\mathbf{x}_0)+L(\mathbf{h})$

ska gå mot noll snabbare än $\mathbf{h}$ , så att att vi har gränsvärdet

$\displaystyle\lim_{\mathbf{h}\to \mathbf{0}} \frac{\Vert F(\mathbf{x}_0+\mathbf{h})−F(\mathbf{x}_0)−L(\mathbf{h})\Vert}{\Vert \mathbf{h}\Vert}=0\,.$

Det är riktigt att detta är starkare än att alla riktningsderivator ska existera.

OK, ska grunna på det.

Men den ursprungliga frågan:

I engelska översätts derivata med derivative och deriverbar med differentiable.
Hur blir det i flervariabelfallet?

Mitt svar var att det inte blir ett problem eftersom vi inte beräknar ”differentialen” av en differentierbar funktion. Är det OK?

Iofs beräknar man funktionaldeterminanten (jakobinen) ibland, men det för oss in på andra vatten.

I envariabel så spelar det ingen roll för då är en funktion differentierbar om och endast den är deriverbar.

Notera att i flervariabel så är differentialen just den linjära operatorn L. Ofta ser man notationen $d F_{{\vec{x}}_{0}}$ för differentialen i ${\vec{x}}_{0}$ .

Det finns ett enkelt samband mellan partiella derivator och differentialen.

$\frac{\partial F ({\vec{x}}_{0})}{\partial x_{i}} = d F_{{\vec{x}}_{0}} ({\vec{e}}_{i})$ , där ${\vec{e}}_{i}$ är den i:te vektorn i standardbasen.

Marilyn skrev:
Hmm, borde läsa på innan jag svarar.

Om du har en flervariabelfunktion så kan du bestämma de partiella derivatorna (derivatives) i en punkt.
Det är i princip som envariabelderivator, du deriverar (differentiate) och får t ex df/dx = 2 och df/dy = 3. Du kan göra detsamma i godtycklig riktning, som när du står i en skidbacke – hur mycket skidorna lutar om de pekar åt t ex nordost eller åt västsydväst.

Stämmer verkligen att det gäller för godtyckliga riktningar? Partiella derivatorna definierades idag som specialfallet när vi just rör oss längs med koordinataxlarna.

@Oggih: Antar att det inte ens finns någon definition för deriverbarhet för högre dimensioner än 1. Idag formulerade vår föreläsare bara flera formuleringar för derivatan i en dimension för att visa att gränsvärdes definitionen inte riktigt fungerar. Introduktionen av differentierbarhet var för att visa motsvarigheten till att deriverbarhet => kontinuitet. Tydligen verkar differentierbarhet => kontinuitet i högre dimensioner.

När jag läser allt detta inser jag hur lite jag kan/kommer ihåg.

Trinity2 skrev:
När jag läser allt detta inser jag hur lite jag kan/kommer ihåg.

Samma här.

Viktig sats: En differentierbar funktion är kontinuerlig.

Viktig jämförelse: En partiellt deriverbar funktion behöver _inte_ vara kontinuerlig.

VIktig sats: En differentierbar funktion är partiellt deriverbar.

Viktig jämförelse: "Omvändningen" gäller inte. Däremot gäller att en ${}^1$ partiellt deriverbar funktion, vars derivator är ${}^2$ kontinuerliga, är differentierbar.

Jovisst DANIEL, detdär lärde vi oss ju i kindergarten:) Vi lärde oss villkor för att en multivariabel funktion skulle vara differentierbar. Men jag tror aldrig jag har beräknat en differential. Eller har jag det.

En ansats kunde vara att

f(x,y) är differentierbar i P <=> f har ett tangentplan i P (tror jag)

Så planets normalvektor kan i någon mening sägas representera ”differentialen”. Men normalvektorn kan vara lång eller kort, hur avgör man vilken längd som svarar mot differentialen?

Man kan koppla differentialen till gradienten.

$d F_{\vec{x}} (\vec{h}) = \nabla F (\vec{x}) ∙ \vec{h}$ .

Marilyn skrev:
En ansats kunde vara att

f(x,y) är differentierbar i P <=> f har ett tangentplan i P (tror jag)

Har du något förslag på definition av vad det ska betyda för $f$ att "ha ett tangentplan" i en punkt?

PATENTERAMERA skrev:
Notera att i flervariabel så är differentialen just den linjära operatorn L. Ofta ser man notationen $d F_{{\vec{x}}_{0}}$ för differentialen i ${\vec{x}}_{0}$ .

Det finns ett enkelt samband mellan partiella derivator och differentialen.

$\frac{\partial F ({\vec{x}}_{0})}{\partial x_{i}} = d F_{{\vec{x}}_{0}} ({\vec{e}}_{i})$ , där ${\vec{e}}_{i}$ är den i:te vektorn i standardbasen.

Väldigt bra poäng!

Två tillägg som kan vara värda att göra här:

(1) Ett annat namn för differentialen $dF_{\mathbf{x}_0}\colon\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n$ definierad ovan är den "totala derivatan", och dess matrisrepresentation med avseende på standardbasen kallas ofta för "Jacobianen" $J_{\mathbf{x}_0}F\in\mathbb{R}^{n\times m}$ . Det $(i,j)$ -te matriselementet av Jacobianen ges av $\frac{\partial F_i(\mathbf{x}_0)}{\partial x_j}$ .

Detta betyder att om en sådan där linjär avbildning $L$ existerar, så innehåller den all information om de partiella derivatorna!

(2) Under förutsättning att $F$ är differentierbar, så kan riktningsderivatan i riktningen $\mathbf{v}\in\mathbb{R}^m$ beräknas som

$\frac{d}{dt}F{(\mathbf{x}_0+t\mathbf{v})}\vert_{t=0}={dF_{\mathbf{x}_0}(\mathbf{v})}={(J_{\mathbf{x}_0}F)}\mathbf{v}.$

Med andra ord, om $F$ är differentierbar räcker att känna till de partiella derivatorna (som MrP mycket riktigt påpekar är riktningsderivatorna längs enhetsvektorerna) för att kunna beräkna vilken riktningsderivata som helst.

Här är ett utdrag från ”Foundations of Mechanics” som kan laddas ner från Caltech. De ger en definition av det innebär att ”tangera” och baserar definitionen av differential (som man kallar derivata) på detta.

Marilyn skrev:
Letar inte upp mina gamla analysböcker nu, men ”consider” funktionen f(x, y) som är 0 överallt utom längs kurvan y = x² där den är 1. Den kan väl approximeras med en linjär funktion i alla riktningar. Men den är inte ens kontinuerlig i origo.

Kul exempel! Mer precist tror jag du menar funktionen $F\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ som ges av

${F(x,y)}=\left\{\begin{array}{ll}1&\text{om $y=x^2$ och $(x,y)\neq(0,0)$}\\ 0 &\text{om $y\neq x^2$ eller $(x,y)=(0,0)$},\end{array}\right.$

och som mycket riktigt har en väldefinierad riktningsderivata längs varje riktning, men som ändå inte är differentierbar.

Nyttig övning till MrP: Vad är riktninsderivatorna till $F$ ? Varför är $F$ inte differentierbar (eller ens kontinuerlig)?

En viktig lärdom av exemplet är precis det Marilyn är inne på: differentierbarhet handlar inte bara om att

$F(\mathbf{x}_0+\mathbf{h})\approx F(\mathbf{x}_0)+L(\mathbf{h})$

ska vara en bra approximation i bemärkelsen att felet minskar snabbare än storleken på $\mathbf{h}$ när $\mathbf{h}$ närmar sig $\mathbf{0}$ längs med räta linjer. Utan i stället tar differentierbarhet hänsyn även till alla möjliga andra sätt för $\mathbf{h}$ att närma sig $\mathbf{0}$ , t.ex. längs med parabeln $y=x^2$ .

Jag minns definitionen av differentierbarhet som något krångligt med roten ur (x²+y²) som jag aldrig riktigt greppade.

Jag tror du minns samma definition som vi diskuterar här i tråden, med tanke på att

${\Vert{\mathbf{h}}\Vert}=\sqrt{h_1^2+\cdots+h_m^2}.$

oggih skrev:
Marilyn skrev:
En ansats kunde vara att

f(x,y) är differentierbar i P <=> f har ett tangentplan i P (tror jag)

Har du något förslag på definition av vad det ska betyda för $f$ att "ha ett tangentplan" i en punkt?

Nej, det har jag inte. Jag är intresserad av trådens ursprungliga fråga. I svenska har vi i envariabelfallet samma ordstam för derivera och det resultat deriveringen ger (derivata). I engelskan heter det differentiate respektive derivative, två olika ordstammar.

I flervariabelfallet finns termen differentierbarhet, men min undran är om detta är något man gör. Vi har satser som säger att differentierbarhet => kontinuitet, att differentierbarhet => riktningsderivator existerar, att funktionen är deriverbar om de partiella derivatorna är kontinuerliga i någon omgivning till punkten osv, men utför man överhuvudtaget differentieringen för att få en ”differential”? Det behövs ju inget ord för resultatet av differentieringen om den aldrig utförs. Engelskan klarar sig med partial derivatives, språket behöver inget ord för det som frågeställaren söker.

Jag spekulerade kring att hitta någon meningsfull tolkning av det resultat en differentiering skulle ge (om den nu är möjlig att utföra). Då slog det mig att tangentplanets normal kanske skulle kunna bidra med en sådan. Jag betraktar som känt att en funktion är differentierbar i en punkt omm funktionsytan har ett tangentplan i punkten, det är inget jag strävar efter att bevisa.

Min hypotes är att differentierbar i (a,b) är ett bekvämt samlingsbegrepp för en egenskap hos en flerdimensionell funktion [att ett visst gränsvärde går mot noll när (x,y) går mot (a,b)], men den har inget korrelat i form av en operation som ger ett visst resultat.

Ungefär som ”kontinuitet”; det är ett centralt begrepp, men vi ”kontinuerar” inte funktioner.

PS Nu har jag grävt fram Hyltén-Cavallius del II, något dammig, men läsbar. Jag tolkar texten så här (tredje upplagan sid 264):

Om f (x, y) är differentierbar så är differentialen

df = f’_x dx + f’_y dy. (1)

(Går inte detta rätt bra att koppla ihop med normalvektorn till tangentplanet? Det är läggdags men jag har ett dunkelt minne av uttrycket ( f’_x , f’_y , –1) eller ngt liknande.)

Min gissning är att engelskan ”differentiates to find the partial derivatives”. (1) kallar de nog ”the differential of f”. Men det är bara en gissning.

Jag sov en stund men vaknade till och plötsligt kom jag på hur det var. Jag tror det står i Hylta-Calle del I, men den har jag inte dammat av.

Nu klarnade det för mig. Differentialen av f(x) = df bestämmer punkter på tangenten; vilken punkt beror av hur stor dx är. Och differentialen av f(x, y) bestämmer punkterna på tangentplanet.

Först var det svårt att ta till sig tanken med dy och dx som godtyckligt stora kvantiteter, men när väl gränsvärdet f’(x) är fixerat så funkar det – det är förhållandet mellan dy och dx.

(När man sedan började med integraler skulle man skriva f(x)dx. Då släppte jag tanken med godtyckligt stort dx.)

Men – för att gå till första frågan om engelska språket – för att bestämma differentialen (om funktionen är deriverbar) så behöver man bestämma de partiella derivatorna. Så den engelskspråkiga matematikern ”differentiates” troligen för att få ”partial derivatives” och bilda ”the differential” av dem.

Det är möjligt att jag bara upprepar sådant som redan står i tråden, ni har notationer jag inte är så van vid.

En differentierbar funktion har många bra egenskaper, bland annat bygger definitionen av gradienten och riktningsderivatan på just differentierbarhet. Ett annat viktigt exempel är en utökad version av kedjeregeln för funktioner av flera variabler. Så fort man inser eller får veta att en funktion är differentierbar ska man alltså känna en bubblande glädje i själen eftersom en hel värld av möjligheter genast öppnar sig!

"Differentialen" av en funktion $f$ , dvs $\mathrm{d}f$ betyder tyvärr lite olika saker i olika sammanhang.

Det vanligaste synsättet är att man ställer sig frågan "hur mycket förändras funktionen $f$ om vi gör små förändringar av funktionens inparametrar?" Dvs vad blir förändringen

$\Delta f=f(x+\Delta x,y+\Delta y ,z+\Delta x)-f(x,y,z)$

Det visar sig att för differentierbara funktioner kan vi ange differentialen som

$\mathrm{d}f=\frac{\partial f}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial f}{\partial y}\mathrm{d}y+\frac{\partial f}{\partial z}\mathrm{d}z$

Visst kan man hitta en viss koppling till ett tangentplan i koordinater. Om den partiella derivatan i z-led, $f^\prime_z$ , är nollskild finns det en möjlig lokal parametrisering $z=g(x,y)$ av en funktionsyta $f=c$ enligt implicita funktionssatsen. Kring den lokala punkten $a$ kan då tangentplanet lite oegentligt spännas upp av små rörelser kring $a$ för inparametrarna i $x$ - och $y$ -led

$z=g(a)+\mathrm{d}g(a)\quad \left(\approx g(a)+g^\prime_x(a)(x-a_x)+g^\prime_y(a)(y-a_y)\right)$

En annan viktig tolkning av differentialen är som linjär 1-form där

$\mathrm{d}f=(\partial _j f)\mathrm{d}x^j$

ser ut precis som en "vanlig" differential, men där $\mathrm{d}x^j$ är basvektorer.

Snyggt! När jag tänker på det minns jag att differentialer förekommer i felkalkyl. Man tror man glömt allt, men gräver man kommer både det ena och andra upp i ljuset.

På samma sätt som ”ätbar” betyder ”går att äta” borde ”differentierbar” betyda ”går att differentiera”.

När vi skriver df = f’_x dx + f’_y dy, är det att differentiera funktionen? Och om detta ”df” är vad vi kallar ”differentialen av f”, vet någon vad det heter på engelska?

På engelska säger man väl vanligen ”differential”.

Men många böcker kallar även detta för derivative (se Foundations of mechanics i #17 eller baby Rudin), total derivative (se oggih #16) eller Frechet derivative.

Som ingenjör brukar väl det vanliga sättet att se på differentialen vara den infinitesimala ändringen av funktionen till följd av en infinitesimal ändring av de oberoende variablerna.

Tillägg: 21 jan 2025 16:44

Som vanligt i matematik så finns det inte någon allmänt vedertagen terminologi. Man får noga läsa vilka definitioner som författaren använder.

Fast ”df” kan väl inte kallas derivative i en seriös publikation???

Låt vara att det inte finns universellt omfattad terminologi, men en derivata måste väl ha en ”nämnare”, dy/dx är ”kvoten” mellan två differentialer. Jag går på att df heter differential på engelska.

Jag tackar för intressanta inputs. Min ursprungsfråga som Marilyn tappert försöker förklara verkar jag dock inte se något svar till. Är den helt enkelt oväsentlig eller för oklar att ha ett direkt svar till? Här verkar de säga att skillnaden är likadan som i svenska, typ.

Oavsett har jag lyckats ha dubbla föreläsningar i flervarre idag och har mer kött på benen. Om inte någon moderator stoppar mig genom att tycka detta är för många frågor i en tråd så undrar jag följande:

Som jag fick lära mig idag gäller det, precis som D4NIEL skrev tidigare, att:

$f$ är differentierbar $\implies$ det existerar partiella derivatorer till $f$ ( $f$ är partiellt deriverbar).
$f$ har kontinuerliga partiella derivatorer i en öppen sammanhängande mängd $D$ , alltså $f \in C^1(D) \implies f$ differentierbar i hela $D$ .
$f$ differentierbar i låt säga $(a,b)$ $\implies$ $f$ kontinuerlig i $(a,b)$ .

GPT berättar så snällt för mig att differentierbarhet i punkt $a$ för en funktion $f$ också kan tolkas som att den lokalt beter sig som en linjär avbildning runt $a$ . Jag undrar hur dessa satser, eller dessa egenskaper, jag listat ovan specifikt gör så att det liknar en linjär avbildning. Min kunskap om linjära avbildningar är standarddefinitionen: En linjär avbildning $F$ har egenskapen $F(\alpha x+ \beta y)=\alpha F(x)+\beta F(y)$ med vektorer $x$ och $y$ och skalärer $\alpha$ och $\beta$ . Jag anar att det handlar om "funktionaldeterminanten" och "Jacobimatrisen", vilket är två begrepp jag inte har någon kunskap om mer än Wikipedias introduktion. Om det är för jobbigt att svara på frågan utan att jag har någon kunskap om dessa begrepp är det bara att säga till så återkommer när mina kunskaper ökat. :)

(1) Jag tror det är så här. För att du ska få ett visst jobb krävs att du har en viss examen.

På samma sätt med differentierbarhet. För att du ska kunna utföra olika operationer på en funktion måste funktionen ha vissa egenskaper. Och då är differentierbarhet en bra paraplyexamen ”ok, den är differentierbar, då är det inga problem”.

T ex vill vi derivera partiellt. Kan vi det? – Ja, f är differentierbar.

Är f kontinuerlig? – Ja, det är grönt, den är differentierbar.

Jag tror alltså att det är bekvämt att checka av differentierbarhet, för i så fall får man en massa egenskaper i paketet.

(2) När det gäller linjära avbildningar så gissar jag att GPT syftar på att en funktion som är deriverbar runt x = a kan approximeras med en rät linje i närheten av a. I och för sig säger det ingenting, du kan approximera pi med tusen om du vill – en jättedålig approximation, men likafullt en approximation. Men utan att gå in på den exakta definitionen så är en tangent en ”bra” approximation till en kurva ”nära” tangeringspunkten. Tänk på Taylors formel; du approximerar först med en konstant, sen med en linje, i nästa term med en andragradare, osv, tredje-, fjärdegradspolynom ad infinitum.

Men en linje funkar dåligt som approximation när kurvan har en spets – vilken linje skulle vara bäst då? Och i en spets är kurvan inte deriverbar, den saknar tangent.

På samma sätt med en funktionsyta z = f(a,b). Så länge ytan är en mjukt böljande duk i rummet, så har varje punkt ett tangentplan, men om duken har veck eller spetsar så kan man inte lägga på ett plan som tangerar ytan. I veck och spetsar är funktionen inte differentierbar.

(3) En annan fråga som kan vara viktig är att ordet linjär är litet farligt. I skolan är y = 4x+3 vanligen en linjär funktion. Men när vi svävar upp i de matematiska rymderna så är en linjär avbildning en som går genom origo – noll ska avbildas på noll. Så när man talar om linjer så är det inte säkert att de är linjära. Giftigt ord. Avbildningen y = 4x är dock linjär, det man i skolan ofta kallar en proportionalitet.

Det är möjligt att Jakobinerna kan fogas in i sammanhanget, men jag ser inte riktigt vad de tillför.

Jacobimatrisen är väl bara standardmatrisen svarande mot differentialen (en linjär avbildning).

Om du har en differentierbar funktion i (a, b) = a. Så gäller det per definition av differential att

f(x, y) = f(x) = f(a) + df_a(x-a) + n(x)|x-a|. Där n(x) går mot noll då x går mot a.

Funktionen z(x) = f(a) - df_a(a) + df_a(x) är en sk affin avbildning och dess graf är ett plan i R³ som tangerar grafen till f i (a, f(a)). För en rigorös definition av begreppet tangera se #17.

På liknande sätt är tangentlinjen till en envariabelfunktion (R till R) grafen till den affina funktionen y(x) = f(a) + f’(a)(x-a). Så för en envariabelfunktion så är differentialen helt enkelt multiplikation med f’(a), dvs df_a(h) = f’(a)h.

Har med intresse följt denna tråden. Men definitionen av en analytisk funktion tycks hamna mellan stolarna. Den definieras ju som en komplexvärd fkn av en komplex variabel som är Deriverbar på en öppen mängd i planet. I princip alltså f:R²–>R², deriverbar och tillika differentierbar. (Månne det som kallas vinkeltrogenhet ha att göra med lokal approximation med en affin avbildning till följd av diffbarheten?)