Derivation under integraltecknet

Beräkna $\int_{0}^{\infty} \frac{a r c \tan (s x)}{(1 + x^{2}) x} d x$ , genom derivation under integraltecknet.

Jag deriverar då med avseende på s och får $\int_{0}^{\infty} \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + (s x)^{2})} d x$ . Detta integrerar jag sedan med hjälp av partialbråksuppdelning och integrerar sedan funktionen jag får som beror av s. Problemet är att jag vid partialbråksuppdelningen antar att s inte är 1 eller (-1), det blir även ganska jobbiga räkningar för att partialbråksuppdela vilket får mig att tro att det kanske finns ett enklare sätt. Om s=1 eller (-1) blir räkningarna ännu jobbigare.

Finns det något bättre sätt att göra detta på?

Integralen definierar en reellvärd funktion på mängden av reella tal,

$\displaystyle f(s) = \int_{0}^{\infty}\frac{\arctan sx}{x(1+x^2)}\,dx\ , \quad s\in\mathbb{R}.$

Om denna uppfyller en viss differentialekvation så kan integralen indirekt bestämmas genom att lösa differentialekvationen.

Tack, jag får då f(s)=C*arctan(sx), men problemet är nu att jag inte kan lösa ut C eftersom jag då måste beräkna värdet av integralen.

Edit: Inser nu att jag gjorde helt fel när jag ställde upp differentialekvationen. Hur rekommenderar du att man går till väga?

Jag gör som du gjorde.

Partialbråksuppdelning av integranden till derivatan ger koefficienter som beror på $s$ .

$f'(s) = \frac{1}{1-s^2}\cdot \frac{\pi}{2} + \frac{s^2}{s^2-1}\cdot \frac{\pi}{2|s|}= \frac{\pi}{2} \cdot \left(\frac{1}{1-s^2} + \frac{s\cdot \text{sign}(s)}{s^2-1}\right)\ , \quad s \in\mathbb{R}\setminus\{-1,0,1\}$

Ytterligare partialbråksuppdelning följd av integrering ger den sökta funktionen $f(s)$ .

Svara

Visa senaste svar