Derivatans tecken och grafen

Jag tror det här är lite av en slamkrypare -- en derivata kan inte vara definierad på det slutna intervallet -- det innebär troligen att för alla punkter där den är definierad, vilket är på alla öppna intervall inuti det slutna intervallet man anger, så är den definierad och nollskild överallt utom i -3 och 2.5. Jag är nog ute på lite tunn is nu, men jag gissar att för att derivatan i en punkt ska vara definierad så måste gränsvärdet från höger och vänster båda existera och vara samma, det innebär att även om f är definierad på hela det slutna intervallet så är derivatan bara definierad på alla öppna intervall som innehålls av det slutna intervallet, dvs f är definierad på $-5\le x\le 7$ och f' på $-5<x<7$. Jag vet inte om det stämmer med din intuition, men jag ser att f är strängt avtagande på $-7<x<-5$ och $2.5<x<7$ och strängt växande på $-3<x<2.5$, men "bara" avtagande på de halvöppna intervallen $-7<x\le -5$ och $2.5\le x<7$ samt "bara" växande på öppna intervallet $-3\le x\le 2.5$. Allt detta bygger på att f' är definierad över hela öppna intervallet och i punkterna -3 och 2.5 antar den värdet 0.

Jag hoppas att någon med mer hår i näsan kan lägga en åsikt om det här, men det känns som att din känsla för att något är fel är rätt. Jag delar din förvirring, om man säger så.

Jag tror att du kan vara något på spåren där, men förvirringen fortsätter på nästa sida. Det är Matematik Origo 3C det gäller.

I c) konstaterar de "Derivatans tecken visar att funktionen f är strängt växande i intervallet 0 < X < 6"
Vilket känns bra, men sen fortsätter de "Svar: Funktionen f är strängt växande i intervallet $0 \le X ⩽6$"
För att göra det mer svårbegripligt har de infogat texren som skymtar till vänster "I det här fallet är f strängt växande även i de punkter där f'(X) = 0"
Vad fick de det ifrån. Det ser ut som om man tittat på grafen till derivatan och klämde till med det där sista i sin egen förvirring.

Boken har rätt. Om f'(x) > 0 i ett intervall, så är funktionen strängt växande i intervallet. Det betyder inte att omändningen är sann. För att något ska vara sant inom matematiken (som jag har förstått det), så måste det gälla för alla x. I detta fall att funktionen är strängt växande då  f'(x)> 0. Enligt defintionen på sidan 120 står det ju att funktionen är strängt växande i ett intervall om y-värdena ökar när x-värdena ökar. Det betyder att det funktionen kommer vara strängt växande även i de punkter där derivatan är noll (dvs. i terasspunkter och extrempunkter), eftersom funktionsvärdet ju även har ökat där (om du tänker efter lite.. :)). 

För att inte bli förvirrad (som jag också blev från början) så kan du nog bara hålla dig till begreppen växande och avtagande funktion när du löser dessa uppgifter:

En funktion är växande i ett intervall då y-värdena ökar eller är konstanta när x-värdena ökar. Dvs. då: f'(x)$\ge 0$ 

En funktion är avtagande i ett intervall då y-värdena ökar eller är konstanta när x-värdena ökar. Dvs. då: f'(x)$\le 0$

Jag tror att jag har ställt till det lite -- definitionen av strängt växande är att för varje $x1 > x2$ är $f\left(x1\right) > f\left(x2\right)$. Om du tänker efter så gäller det även om en av punkterna ligger på ändpunkten till det slutna intervallet. Det de säger på första sidan du visade är att om derivatan är positiv så är det ett tillräckligt villkor för att funktionen ska vara strängt ökande, men det är inte nödvändigt. Definitionen du ska luta dig mot är den med att varje punkt till höger ger ett högre värde, och det gör det även om derivatan är noll i ändpunkten av det slutna intervallet; att derivatan är positiv är ett tillräckligt, men inte nödvändigt villkor.

Jag ber om ursäkt för att jag rörde till det. :(

OK Tack bägge två för en bra hjälp. Tyvärr så får jag väl erkänna att jag borde läst på bättre på den första förklarande sidan. Att det ska vara så svårt :-)

Ett klassiskt exempel på en funktion som är  strängt växande för alla reella x och som i en enstaka punkt uppfyller f'(x) = 0 är

f(x) = x^3