Derivatans definition när x är upphöjt till mer än 2.

(Jag har hittat på den här uppgiften själv för att öva inför ett prov.)
f(x)=7x^4

Deriverar jag den direkt i huvudet utan att använda derivatans definition (som är det jag ska öva på) blir svaret 28x^3, men när jag kör derivatans definition så försvinner ^3. Svaret jag får blir alltså bara 28x.

7(x+h)^4-7(x)^4/h=

7(x^4+4*x*h+h^4)-7(x)^4/h=

7x^4+28xh+7h^4-7x^4/h=

28x^3+28xh+28h^3-28x^3/h=

(Här tar jag bort alla överflödiga h:n eftersom h går mot 0)
=28x

Vad gör jag för fel? Varför blir det inte 28x^3?

Du verkar ha utvecklat $(x+h)^4$ fel.

Du använder kvadreringsregeln för att utveckla $(x + h)^{4}$ , "(x^4+4*x*h+h^4) stämmer inte. Ditt räknesätt funkar rent principiellt om det hade varit upphöjt med 2, inte 4.

Använd binomialsatsen istället:

https://sv.m.wikipedia.org/wiki/Binomialsatsen

$\begin{matrix} l i m \\ h \to 0 \end{matrix} \frac{7 (x + h)^{4} - 7 x^{4}}{h} = \begin{matrix} l i m \\ h \to 0 \end{matrix} \frac{7 (x + h)^{2} (x + h)^{2} - 7 x^{4}}{h} = \begin{matrix} l i m \\ h \to 0 \end{matrix} \frac{7 (x^{2} + 2 x h + h^{2}) (x^{2} + 2 x h + h^{2}) - 7 x^{4}}{h}; N u ä r d e t b a r a a t t m u l t i p l i c e r a i n a l l t i n g e n l i g t r e g l e r, o c h d å f å r v i : \begin{matrix} l i m \\ h \to 0 \end{matrix} \frac{7 (x^{2} + 2 x h + h^{2}) (x^{2} + 2 x h + h^{2}) - 7 x^{4}}{h} = . . . . . . \begin{matrix} l i m \\ h \to 0 \end{matrix} \frac{7 (x^{4} + 4 x^{3} h + 6 x^{2} h^{2} + 4 x h^{3} + h^{4}) - 7 x^{4}}{h} = \begin{matrix} l i m \\ h \to 0 \end{matrix} \frac{7 x^{4} + 28 x^{3} h + 42 x^{2} h^{2} + 28 x h^{3} + 7 h^{4} - 7 x^{4}}{h}; \begin{matrix} l i m \\ h \to 0 \end{matrix} \frac{7 x^{4} + 28 x^{3} h + 42 x^{2} h^{2} + 28 x h^{3} + 7 h^{4} - 7 x^{4}}{h} = \begin{matrix} l i m \\ h \to 0 \end{matrix} \frac{28 x^{3} h + 42 x^{2} h^{2} + 28 x h^{3} + 7 h^{4}}{h}; B r y t e r u t h \begin{matrix} l i m \\ h \to 0 \end{matrix} \frac{h (28 x^{3} + 42 x^{2} h + 28 x h^{2} + 7 h^{3})}{h} = \begin{matrix} l i m \\ h \to 0 \end{matrix} 28 x^{3} + 42 x^{2} h + 28 x h^{2} + 7 h^{3} = 28 x^{3} + 42 x^{2} (0) + 28 x (0)^{2} + 7 (0)^{3} = . . . . . . . 28 x^{3}; V i l k e t s t ä m m e r d å \frac{d}{d x} (7 x^{4}) = 28 x^{3};$

Här har du hela utvecklingen. Är inte detta är överkurs för matematik 3?

Det räcker att veta att (x+h)^4 = x^4 + 4*x^3*h + a*x^2*h^2 + b*x*h^3 + c*h^4, där a, b och c är konstanter.

För då blir täljaren (x+h)^4 - x^4 = 4x^3*h + a*x^2*h^2 + b*x*h^3 + c*h^4 = h*(4x^3 + a*x^2*h + b*x*h^2 + c*h^2)

Efter division med nämnarens h blir uttrycket alltså 4x^3 + a*x^2*h + b*x*h^2 + c*h^2, vilket går mot 4x^3 då h går mot 0

Bortredigerat inlägg. Regelbrott 3.1. /Kajsa, admin

Tycker man binomialsatsen är krånglig, använd endast att

$(x + h)^{4} = (x + h)^{2} (x + h)^{2} = (x^{2} + 2 x h + h^{2}) (x^{2} + 2 x h + h^{2})$

Sedan får du utveckla genom att multiplicera in respektive term från första parentesen, intill varje term i andra parentesen.

Svara

Visa senaste svar