Derivatans definition bevis om absolutbelopp för |x| existerar

De tittar på ifall höger- och vänstergränsvärdena blir samma, dvs. om gränsvärdet existerar överhuvudtaget. Om gränsvärdet inte existerar kommer du inte heller kunna derivera funktionen i den punkten, då funktionen inte är kontinuerlig där.

naytte skrev:

De tittar på ifall höger- och vänstergränsvärdena blir samma, dvs. om gränsvärdet existerar överhuvudtaget. Om gränsvärdet inte existerar kommer du inte heller kunna derivera funktionen i den punkten, då funktionen inte är kontinuerlig där.

Jag fattar. Men jag förstår ej varför de skriver f(h)-f(0)/h istället för f(x+h)...

Det är för att frågan bara handlar om huruvida derivatan existerar i den specifika punkten $x=0$. Alltså ska vi undersöka om följande gränsvärde existerar:

   $\lim_{h\to 0} \displaystyle\frac{f(0+h)-f(0)}{h}$

och vi har ju att $0+h=h$.

Eftersom absolutbeloppet beter sig olika till höger och vänster om origo är det en klok strategi att undersöka separat vad som händer när $h\to 0^+$ och när $h\to 0^-$.

oggih skrev:

Det är för att frågan bara handlar om huruvida derivatan existerar i den specifika punkten $x=0$. Alltså ska vi undersöka om följande gränsvärde existerar:

   $\lim_{h\to 0} \displaystyle\frac{f(0+h)-f(0)}{h}$

och vi har ju att $0+h=h$.

Eftersom absolutbeloppet beter sig olika till höger och vänster om origo är det en klok strategi att undersöka separat vad som händer när $h\to 0^+$ och när $h\to 0^-$.

Ah okej så när h närmar minus 0 , så blir det f(0-h)-f(0)/h?  Varför skriver -h/h?  

Jag vet ej om de tänker som jag tänker typ att f'(x)= |x|= 1 för x>=0 och -1 för x<0. 

Ah okej så när h närmar minus 0 , så blir det f(0-h)-f(0)/h?  Varför skriver -h/h? 

$\left|h\right|=\left\{\begin{array}{l}h, h\ge 0\\ -h, h<0\end{array}\right.$

Förenklingen av $h$ blir annorlunda beroende på vilken sida av y-axeln vi befinner oss. Eftersom $h<0$ när vi tar $\underset{h\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)$ så förenklas $\left|h\right|$ till $-h$.

Men det finns ett enklare motivering till att funktionen inte är deriverbar i $x=0$ som inte kräver särskilt mycket algebra. Som du vet består funktionen $f\left(x\right)=\left|x\right|$ av två linjesegment, både $y=x$ och $y=-x$. Dessa segment möts i exakt punkten $x=0$. Funktionen har en odefinierad lutning i den punkten.

naytte skrev:

Men det finns ett enklare motivering till att funktionen inte är deriverbar i $x=0$ som inte kräver särskilt mycket algebra. Som du vet består funktionen $f\left(x\right)=\left|x\right|$ av två linjesegment, både $y=x$ och $y=-x$. Dessa segment möts i exakt punkten $x=0$. Funktionen har en odefinierad lutning i den punkten.

Nu vet jag ej om man skulle få poäng på en tenta om man resonerade som du gör. Det var så jag var inne på förut. För uppgiften kräver bevis med derivatans definition. 

naytte skrev:

Ah okej så när h närmar minus 0 , så blir det f(0-h)-f(0)/h?  Varför skriver -h/h? 

$\left|h\right|=\left\{\begin{array}{l}h, h\ge 0\\ -h, h<0\end{array}\right.$

Förenklingen av $h$ blir annorlunda beroende på vilken sida av y-axeln vi befinner oss. Eftersom $h<0$ när vi tar $\underset{h\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)$ så förenklas $\left|h\right|$ till $-h$.

"Förenklingen av h blir annorlunda beroende på vilken sida av y-axeln vi befinner oss". Vad menar du med den meningen? Den andra meningen att h förenklas till h- förstår jag 

$\left|h\right|=-h$ när $h<0$.

När du låter $h\to 0^{-}$ så blir $\left|h\right|=-h$.

naytte skrev:

$\left|h\right|=-h$ när $h<0$.

När du låter $h\to 0^{-}$ så blir $\left|h\right|=-h$.

Yes. Tack!