Derivatans definition.
Låt f vara en funktion och skapa en ny funktion g sådan att g(x) = f(x)+C där C är en konstant.
a) Förklara med hjälp av ett grafiskt resonemang att funktionerna g och f har samma derivata.
Om vi deriverar g kommer g' = f', och detta betyder att de alltid kommer ha samma derivata, då konstanten C försvinner vid derivering. y1 = g(x) och y2 = f(x) + C. Enda skillnaden mellan funktionerna är att Y2 kommer ha en konstant C i höjdled.
Exempelvis, f(x) = x, och g(x) = f(x) +1 = x+1. Vid derivering kommer f'(x) = 1 och g'(x) = 1.
Ritar upp grafen som visar att lutningen (derivatan) alltid kommer att vara samma för båda funktionerna oavsett konstant.
b) Bevisa med hjälp av derivatans definition att g och f har samma derivata.
Derivatans definition:
y= g(x)
y= f(x) + C
Är detta rätt, är lite osäker.
abbi1 skrev:Låt f vara en funktion och skapa en ny funktion g sådan att g(x) = f(x)+C där C är en konstant.
a) Förklara med hjälp av ett grafiskt resonemang att funktionerna g och f har samma derivata.
y1 = g(x) och y2 = f(x) + C. Enda skillnaden mellan funktionerna är att Y2 kommer ha en konstant C i höjdled.
Ritar upp grafen som visar att lutningen (derivatan) alltid kommer att vara samma för båda funktionerna oavsett konstant.
På b tycker jag att du har gjort helt rätt. På a så skriver du mycket som inte är svar på frågan, och en del som bara stämmer delvis.
Enligt frågan ska du använda ett grafiskt resonemang. I citatet ovanför har jag tagit bort allt som inte är ett grafiskt resonemang.
Den första meningen är helt rätt. Grafen du ritar upp hade stämt om g(x) och f(x) är linjära funktioner (dvs (y=kx+m), men det du ska visa gäller alla funktioner. Men det stämmer att g(x) och f(x) ser likadana ut, det är bara så att värdet på C flyttar den ena funktionen uppåt eller nedåt. Utveckla ditt svar så att de blir tydligare.
SvanteR skrev:abbi1 skrev:Låt f vara en funktion och skapa en ny funktion g sådan att g(x) = f(x)+C där C är en konstant.
a) Förklara med hjälp av ett grafiskt resonemang att funktionerna g och f har samma derivata.
y1 = g(x) och y2 = f(x) + C. Enda skillnaden mellan funktionerna är att Y2 kommer ha en konstant C i höjdled.
Ritar upp grafen som visar att lutningen (derivatan) alltid kommer att vara samma för båda funktionerna oavsett konstant.
På b tycker jag att du har gjort helt rätt. På a så skriver du mycket som inte är svar på frågan, och en del som bara stämmer delvis.
Enligt frågan ska du använda ett grafiskt resonemang. I citatet ovanför har jag tagit bort allt som inte är ett grafiskt resonemang.
Den första meningen är helt rätt. Grafen du ritar upp hade stämt om g(x) och f(x) är linjära funktioner (dvs (y=kx+m), men det du ska visa gäller alla funktioner. Men det stämmer att g(x) och f(x) ser likadana ut, det är bara så att värdet på C flyttar den ena funktionen uppåt eller nedåt. Utveckla ditt svar så att de blir tydligare.
Hur ska jag rita en graf som gäller alla funktioner?
Är det funktionen f(x) = x som du använder också i b)?
Varför inte bevisa för varje funktion till vilken läggs en konstant?
Du kan inte rita en graf som gäller alla funktioner, men du kan föra att allmänt resonemang ungefär som du redan har gjort ("Enda skillnaden mellan funktionerna är att Y2 kommer ha en konstant C i höjdled.") men lite mer utvecklat och sedan visa det med två grafer. I princip har du ju gjort det, men just linjära funktioner är ofta lite speciella (derivatan är alltid en konstant), så du kan ju använda något eller några olika exempel som inte är linjära.
Louis skrev:Är det funktionen f(x) = x som du använder också i b)?
Varför inte bevisa för varje funktion till vilken läggs en konstant?
Nej använder inte det i b) och vad menar du?
Eftersom derivatan alltid blir 1.
Och det ser ut som om x-värdena blir funktionsvärden, t ex f(g+h) = g+h.
Så är jag inte med på att du skriver g där som är namn på den andra funktionen och inte x.
