Derivatans definition

Välkommen till Pluggakuten! Din strategi är helt rätt, men det har smugit sig in ett litet slarvfel där du skriver bråken på samma bråkstreck. Minsta gemensamma nämnare är $\mathit{x}\left(x^2+2xh+h^2\right)$, inte $x^2+2xh+h^2$. Rätta till det felet, och se om du kommer vidare. :)

Tack så mycket! Ska försöka

Det var så lite så! Återkom här i tråden om du fastnar. :)

Har nu kommit så här långt… hur fortsätter jag?

lau123 skrev:

Hej, jag har fastnat på en uppgift. Jag ska bevisa att derivatan till 1/x² är  -2/x³ med hjälp av derivatans definition. Har jag påbörjat det rätt? Hur går jag tillväga?

Vad är f(x)?  Är det f(x) =1/x eller f(x) = 1/x² eller något annat? Du har inte använt samma f(x) på x som på x+h.

Oj missade det totalt! Det ska ju vara 1/x². Ska fixa det nu!

Är det korrekt nu?

Bryt ut h från täljarens täljare. Förkorta bort det mot nämnaren. Nu är det bara en nämnare kvar, och den blir inte 0 om h går mot 0.

Är detta en korrekt lösning? :/

Det finns en del otydligheter och du missar att skriva "lim h -> 0" på ett par ställen, men i princip är det rätt, ja.

Ja, såklart. På avstämningar och liknande kommer jag att skriva ut allt mer utförligt :)

med risk för att vara bror duktig: Ta för vana att vara ordentlig med formalia när du övar, så sitter det automatiskt under en stressad provsituation!

lau123 skrev:

Ja, såklart. På avstämningar och liknande kommer jag att skriva ut allt mer utförligt :)

För att få höga betyg krävs det bland annat att lösningarna är tydliga, effektiva och att de är kommunicerade på ett bra sätt.

Om du vill att vi ska hjälpa dig med det så bör du visa här hur du skulle skriva lösningarna för inlämning.

Det är ju såklart inget måste, men det kan vara bra att passa på att få lite coachning även på det.

Det vore jättesnällt!!

God fortsättning och ursäkta sent svar.

Det du skriver är rätt. Här är ett förslag på hur du kan förenkla och förtydliga beskrivningen.

$f(x)=\frac{1}{x^2}$. Visa att $f'(x)=-\frac{2}{x^3}$.

Derivatans h-definition $f'(x)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Vi börjar med att titta på differenskvotens täljare $f(x+h)-f(x)$.

Eftersom $f(x)=\frac{1}{x^2}$ så är $f(x+h)=\frac{1}{(x+h)^2}$ och vi får då

$f(x+h)-f(x)=\frac{1}{(x+h)^2}-\frac{1}{x^2}=$

$=\frac{x^2-(x+h)^2}{x^2(x+h)^2}=\frac{-2xh-h^2}{x^2(x+h)^2}=\frac{-h(2x+h)}{x^2(x+h)^2}$

Det betyder att $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{-(2x+h)}{x^2(x+h)^2}$.

Om vi nu låter $h$ gå mot $0$ så går detta uttryck mot $\frac{-2x}{x^2x^2}=\frac{-2}{x^3}$

Dvs $f'(x)=-\frac{2}{x^3}$, vilket skulle visas.