Derivatans definition

(y2-y1)/(x2-x1) kallas ändringskvot, det är lutningen mellan två olika punkter på kurvan. Men derivatan är lutningen i en punkt på kurvan. För att uppnå det gör man ett gränsvärde av ändringskvoten - man låter den ena punkten "vandra" längs kurvan mot den andra, och så undersöker man vad ändringskvoten närmar sig när de två punkterna förs allt närmare varandra. Det är det gränsvärdet som derivatans definition beskriver.

men jag lyssnade på en genomgång som sa att f(a+h)-f(a)/h är samma sak som delta(y)-(y-värdet)/delta(x)

Derivatans definition innehåller en ändringskvot, men också $\lim_{h\to 0}$. Det är detta som säger "gränsvärdet av". I en vanlig ändringskvot finns inget gränsvärde inblandat, det är det som är skillnaden.

Skaft skrev:

Derivatans definition innehåller en ändringskvot, men också $\lim_{h\to 0}$. Det är detta som säger "gränsvärdet av". I en vanlig ändringskvot finns inget gränsvärde inblandat, det är det som är skillnaden.

alltså enda skillnaden är ju att h är oändligt nära 0 medan delta x inte är det. jag undrar hur ska man veta vilken formel man ska använda i vilket tillfälle eller spelar det ingen roll vilken av dom man använder och får samma svar?

Jo, fast just den "enda skillnaden" är ändå väldigt stor. Den innebär att derivatan ger dig kurvans lutning i en enda punkt (lutningen av en tangent till den punkten på kurvan):

medan en ändringskvot kräver två punkter på kurvan (lutningen av en sekant genom de två punkterna):

Lutningarna på dessa två linjer är inte i allmänhet lika, men de kan vara det i särskilda fall. Så för att svara på frågan "hur vet man vilken som gäller", ställ dig en annan fråga: söker man lutningen på en tangent, eller på en sekant?

Skaft skrev:

Jo, fast just den "enda skillnaden" är ändå väldigt stor. Den innebär att derivatan ger dig kurvans lutning i en enda punkt (lutningen av en tangent till den punkten på kurvan):

medan en ändringskvot kräver två punkter på kurvan (lutningen av en sekant genom de två punkterna):

Lutningarna på dessa två linjer är inte i allmänhet lika, men de kan vara det i särskilda fall. Så för att svara på frågan "hur vet man vilken som gäller", ställ dig en annan fråga: söker man lutningen på en tangent, eller på en sekant?

ja jag förstår men har man sekant kan man räknar med delta y/delta x men när räknar man med den andra formeln är det bara om vi har en tangent?

Ja, derivatans definition ger dig lutningen av en tangent.

Skaft skrev:

Ja, derivatans definition ger dig lutningen av en tangent.

men exempel f(x)=-0,25x^2+1 
vad står -0,25x² för och vad står 1 för?

Nu tappade du mig... Är det fortfarande derivatans definition vi diskuterar? 

Skaft skrev:

Nu tappade du mig... Är det fortfarande derivatans definition vi diskuterar? 

ja jag pratar ju om lim h--> f(a+h)-f(a)/h om vi har funktionen f(x)?=-0,25x²+1 jag undrar vad -0,25x^2 står för och vad 1 står för?

Om din funktion är $f(x) = -0.25x^2+1$ så är:

$f(a) = -0.25a^2+1 \\ f(a+h) = -0.25(a+h)^2+1$

Enligt derivatans definition kan vi alltså uttrycka lutningen på en tangent till kurvan i punkten där x=a som:

$f'(a) = \lim_{h\to 0}\dfrac{-0.25(a+h)^2+1 - (-0.25a^2+1)}{h}$

Derivatans definition "bryr sig inte" om vad funktionens olika komponenter står för. Men ettan i din funktion betyder att funktionen skär y-axeln i y=1, och -0.25x^2 beskriver kurvans form (ungefär som en ledsen mun). Men vad de sakerna står för har inte med derivatan att göra.

Skaft skrev:

Om din funktion är $f(x) = -0.25x^2+1$ så är:

$f(a) = -0.25a^2+1 \\ f(a+h) = -0.25(a+h)^2+1$

Enligt derivatans definition kan vi alltså uttrycka lutningen på en tangent till kurvan i punkten där x=a som:

$f'(a) = \lim_{h\to 0}\dfrac{-0.25(a+h)^2+1 - (-0.25a^2+1)}{h}$

Derivatans definition "bryr sig inte" om vad funktionens olika komponenter står för. Men ettan i din funktion betyder att funktionen skär y-axeln i y=1, och -0.25x^2 beskriver kurvans form (ungefär som en ledsen mun). Men vad de sakerna står för har inte med derivatan att göra.

så -0,25 är typ lutningen?

Ja, eller liksom hur snabbt den böjer av. Minustecknet betyder att den böjer av nedåt, och 0.25 betyder att kurvan är plattare jämfört med t.ex. om det varit 0.5 istället:

Av någon anledning fick den för sig att skriva "Re" i grafbeskrivningen där, bortse från det. Den övre kurvan är -0.25x^2 +1 och den undre, brantare, är -0.5x^2 +1.

Men återigen, hur man tolkar koefficienterna i en andragradsfunktion har inget med derivatans definition att göra, så den diskussionen hör egentligen hemma i en annan tråd.

Skaft skrev:

Ja, eller liksom hur snabbt den böjer av. Minustecknet betyder att den böjer av nedåt, och 0.25 betyder att kurvan är plattare jämfört med t.ex. om det varit 0.5 istället:

Av någon anledning fick den för sig att skriva "Re" i grafbeskrivningen där, bortse från det. Den övre kurvan är -0.25x^2 +1 och den undre, brantare, är -0.5x^2 +1.

Men återigen, hur man tolkar koefficienterna i en andragradsfunktion har inget med derivatans definition att göra, så den diskussionen hör egentligen hemma i en annan tråd.

ja men det handlar ju om derivatans defenition när man räknar ut funktionen till derivata. jag undrar också lim h->0 betyder jag vet att det betyder gränsvärde men fattar inte vad gränsvärde är riktigt står inte så mycket i boken och hoppas de ok att jag frågar det här eftersom det har med derivatans defenition att göra dvs lim h->0 

En formulering som "Gränsvärdet av A då B går mot C" (vilket derivatans definition är ett exempel på: gränsvärdet av ändringskvoten då h går mot noll) betyder ungefär "vilket värde närmar A sig, om man successivt flyttar B allt närmare C?"

I derivatans definition ställer man upp en ändringskvot, dvs. lutningen på en sekant. Sen sätter man ett gränsvärde på det: man frågar sig vad som händer med sekantens lutning om man flyttar den ena punkten allt närmare den andra. Eftersom punkterna sammanfaller om avståndet mellan dem (h) är noll, så är gränsvärdet av sekantens lutning lika med tangentens lutning. Och det är ju tangentens lutning som derivatan försöker beskriva, så därför är det en passande definition.