Derivatans definition

Välkommen till Pluggakuten! Nej, det är inte meningen att någon skall ge dig en färdig lösning. Meningen med Pluggakuten är att du skall få den hjälp och vägledning du behöver för att kunna lösa din ujppgift själv.

Det är lite otydligt hur din funktion ser ut. Är det $(x)=\sqrt{x^2+1}$?

Hur ser derivatans definition ut? (Du vet, den där med gränsvärde när h går mot 0 och allt det där.)

Visa gärna hur du kom fram till det så är det enklare för oss att se vid vilket steg det har gått fel.

Om funktionen ser ut som Smaragalena föreslår så brukar en bra metod efter att du ställt upp derivatans definition för dessa funktioner vara att multiplicera med det som heter  konjugatet(samma termer fast med motsatt tecken)

ex. är $2b^2+4a$ ett konjugat till $2b^2-4a$

Det var inte menat som en efterfrågan på en färdig lösning, min tanke var att få en diskussion om vad man kan göra för att lösa uppgiften.

Hur kan jag ska skriva ut min lösning här med så snygga tecken som ni använder? Blir väldigt rörigt med tecken från telefonens tangentbord.

Carolina skrev:

Det var inte menat som en efterfrågan på en färdig lösning, min tanke var att få en diskussion om vad man kan göra för att lösa uppgiften.

Hur kan jag ska skriva ut min lösning här med så snygga tecken som ni använder? Blir väldigt rörigt med tecken från telefonens tangentbord.

Det finns LaTex och det finns formelskrivaren. Den senare finns inte i mobilversionen, men LaTex kan du alltid använda. Om du trycker citera på första svaret här uppe, t.ex., så ser du nånting med dollartecken. Om man skriver så så blir det fina formler. Hur man gör står i en anvisning som man kan komma till från förstasidan på pluggakuten, en bild uppe till höger.

Om du sitter vid en dator så där du ska skriva ditt inlägg så finns det i menyn ett rottecken. Om du klickar på den så kommer du till formleskrivaren och hittar alla möjliga matematiska tecken.

$$\begin{gathered} Deriva\tan s definition \\ \underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f\left(x\right)}{h} \\ I detta fall: f\left(x\right)=\sqrt{x^2+1 }, f(x+h)=\sqrt{(x+h{)}^2+1} \\ \underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{(x+h{)}^2+1}-\sqrt{x^2+1 }}{h} \end{gathered}$$

Så här bör din uppställning se ut från början såklart. Problemet är att vi inte direkt kan låta h gå mot 0 eftersom division med 0 ej är tillåtet utan vi måste laborera lite för att kunna förkorta bort h. Rötterna i täljaren är svåra att lösa. Därför är ett bra tips att försöka multiplicera med konjugatet i både täljare och nämnare som i detta fallet är $(\sqrt{{\left(x+h\right)}^2+1}+\sqrt{x^2+1})$ alltså samma sak som finns i täljaren men med motsatt tecken(plus istället för minus mellan termerna). Vad händer då? och hur hjälper detta vidare?

Tack för tips på formelskrivning!

Jag fick ändra i min uträkning pga av slarv i början så nu ser det ut såhär. Jag vet inte riktigt vad jag ska göra härnäst innan jag låter h gå mot noll.

$\frac{\sqrt{(x+h)^2+1} -\sqrt{x^2+1}}{h}$

$\frac{(\sqrt{(x+h)^2+1} -\sqrt{x^2+1})(\sqrt{(x+h)^2+1}+\sqrt{x^2+1})}{h(\sqrt{x^2+h+1}+\sqrt{x^2+1})}$

 $\frac{({(x+h)^2+1}) -({x^2+1})}{h(\sqrt{(x+h)^2+1}+\sqrt{x^2+1})}$

 $\frac{x^2+2hx+h^2+1-x^2-1}{h(\sqrt{(x+h)^2+1}+\sqrt{x^2+1})}$

 $\frac{2hx+h^2}{h(\sqrt{(x+h)^2+1}+\sqrt{x^2+1})}$

$\frac{2hx+h}{\sqrt{(x+h)^2+1}+\sqrt{x^2+1}}$

Sista steget har blivit lite galet. För att du ska kunna förkorta bort h så måste du bryta ut h på rätt sätt. Tror du slarvmissat där

$$\begin{gathered} \frac{2hx+h^2}{h(\sqrt{(x+h{)}^2+1}+\sqrt{x^2+1)}}= \\ \frac{h(2x+h)}{h(\sqrt{(x+h{)}^2+1}+\sqrt{x^2+1)}}= \\ \frac{{\displaystyle 2x+h}}{{\displaystyle (\sqrt{(x+h{)}^2+1}+\sqrt{x^2+1)}}} \end{gathered}$$

Nu kan du låta h gå mot 0 och se vad du får kvar och sen förenkla

Ja den missade jag! 

Några förkortningar efter att jag satt in 0 för h:

$\frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}$

 
$x(x^2+1)^{-1/2}$

Kan detta stämma? Med reservation för mer trötthetsslarv.

Stämmer bra!

Sen om man väljer att skriva det som $\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} eller x(x^2+1{)}^{-\frac{1}{2}}$ är en smaksak :) 

Stort tack för hjälpen!

Ingen orsak!