Derivatans definition

Hej

Utgå ifrån derivatans definition $f\text{'}\left(x\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}$.  Kommer du vidare?

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=\frac{2}{4x+1} \\ Täljaren: f\text{'}\left(x\right) av 2 = 0 \\ Nämnaren: f\text{'}\left(x\right) av 4x+1 = 4 \\ Regel: \\ f\text{'}\left(x\right)=\frac{derivata av täljaren*nämnaren-täljaren*deriva\tan av nämnaren}{nämnare{n}^2}= \\ \to f\text{'}\left(x\right)=\frac{0*(4x+1)-2*\left(4\right)}{(4x+1{)}^2}=-\frac{8}{(4x+1{)}^2} \end{gathered}$$

Använd sedan gränsvärdet 

questionable1 skrev :

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=\frac{2}{4x+1} \\ Täljaren: f\text{'}\left(x\right) av 2 = 0 \\ Nämnaren: f\text{'}\left(x\right) av 4x+1 = 4 \\ Regel: \\ f\text{'}\left(x\right)=\frac{derivata av täljaren*nämnaren-täljaren*deriva\tan av nämnaren}{nämnare{n}^2}= \\ \to f\text{'}\left(x\right)=\frac{0*(4x+1)-2*\left(4\right)}{(4x+1{)}^2}=-\frac{8}{(4x+1{)}^2} \end{gathered}$$

Använd sedan gränsvärdet 

Varför ska han använda sig av gränsvärde? Man går inte igenom kvotregeln fören Ma 4 och uppgiften var att vissa de med derivatans definition. 

När man skall visa något med hjälp av derivatans definition är det det man skall göra, precis som Jonis10 skrev. Du skall alltså inte använda dig av några deriveringsregler. Om man gjorde som questionable1 föreslår skulle man få 0 poäng på den här uppgiften.

Tänker jag helt fel?

Ja nu är du fel ute

f(x) =1/(4x+2)

f(x+h) = 1/(4(x+h)+2)

använd nu derivatans definition

$f\text{'}\left(x\right)=\underset{h\to 0}{\lim } \frac{f(x+h)-f\left(x\right)}{h}$

dvs

$f\text{'}\left(x\right)=\underset{h\to 0}{\lim } \frac{{\displaystyle \frac{1}{4(x+h)+2}}-{\displaystyle \frac{1}{4x+2}}}{h}$

Som du får jobba vidare med

Första raden ser bra ut, men sedan slarvar du. För att kunna addera två bråktal måste de ha samma nämnare. Hur skall du åstadkomma detta?

Vilka räkneregler följer du nu?

Smaragdalena

jag tänkte MGN, men jag är väldigt förvirrad i detta. Så jag uppskattar verkligen sin hjälp.

först tänkte jag så här, det kanske inte heller är rätt tänkt.

Jag har också tänkt de här banorna... 

jag har inte riktigt förstått hur jag förhåller mig till detta... någon? 

Detta liknar uttrycket ovan från början. 

MGN är ett bra sätt att tänka. Vad blir MGN för $\frac{1}{4(x+h)+2}$ och $\frac{1}{4x+2}$? Multiplicera inte ihop någonting, utan skriv bara MGN. Vad skall du förlänga vardera bråket med för att det skall bli MGN?

1/4x+2 förlängas med 4h? 

Nej, du måste multipicera ihop för att få fram MGN.

2(2x+1)(2x+2h +1)

Jag tror (gissar) att du egentligen tänker rätt, men du använder fel siffror. Försök igen! De båda olika nämnarna är 4(x+h)+2 respektive 4x+2.

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=\frac{2}{4x+2} \\ f\text{'}\left(x\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1}{h}\left(f(x+h)-f\left(x\right)\right)=\frac{1}{h}\left(\frac{2}{4\left(x+h\right)+2}-\frac{2}{4x+2}\right) \\ =\frac{1}{h}\left(\frac{1}{2\left(x+h\right)+1}-\frac{1}{2x+1}\right)=\frac{1}{h}\left(\frac{2x+1}{\left(2x+2h+1\right)\left(2x+1\right)}-\frac{2\left(x+h\right)+1}{\left(2x+1\right)\left(2x+2h+1\right)}\right) \\ =\frac{1}{h}\left(\frac{2x+1-2x-2h-1}{\left(2x+2h+1\right)\left(2x+1\right)}\right)=\frac{1}{h}\left(\frac{-2h}{\left(2x+2h+1\right)\left(2x+1\right)}\right)=-\frac{2}{\left(2x+2h+1\right)\left(2x+1\right)} \\ =\underset{h\to 0}{\lim }-\frac{2}{\left(2x+2h+1\right)\left(2x+1\right)}=-\frac{2}{{\left(2x+1\right)}^2} \end{gathered}$$

AnnikaG skrev :

Hej!

Din beräkning visar att du tror att räkneregeln

    $\frac{1}{a+b} - \frac{1}{b} = \frac{1}{a}$

är sann.

Jag hoppas att du var litet tveksam när du skrev detta, men att du skrev ner det iallafall.

Ett sätt att testa om räkneregeln stämmer är att ersätta symbolerna med konkreta tal och se vad räkneregeln ger. Välj till exempel $a = 2$ och $b = 3.$ Din räkneregel säger att det ska gälla att

    $\frac{1}{2+3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{5} - \frac{1}{3} \approx 0.2 - 0.33 = -0.13$

är samma sak som $\frac{1}{2} = 0.5\ .$

Albiki