Derivatans definition
Försöker visa med derivatans definition att om f(x)=x*roten ur x så är f’(x)=(3*roten ur x)/(2 ). Har sett ett lösningsförslag på en webbsida men förstår inte hur man förenklar uttrycket i bilden där man varken använder kvadreringsregeln eller konjugatregeln.
Kan du förklara mer vad som var oklart?
Magnus O skrev:Kan du förklara mer vad som var oklart?
Vi har två paranteser som vi ska multiplicera med varandra. Om vi börjar med att multiplicera in x i den andra parentesen så får vi x*roten ur (x+h), men enligt lösningsförlaget så blir det inte så som jag tänkt utan det blir
X+(roten ur (x+h))^2.
Där har jag fastnat
Tack, jag ska försöka kolla mer på detta. Har du någon mer uträkning som du inte visat?
Magnus O skrev:Tack, jag ska försöka kolla mer på detta. Har du någon mer uträkning som du inte visat?
Så här långt har jag kommit.
Tack för hjälpen
## Bing
To differentiate x*sqrt(x) using the definition of a derivative, we need to evaluate the following limit:
f'(x) = lim(h -> 0) [f(x + h) - f(x)] / h
where f(x) = x * sqrt(x).
Substituting f(x) into the limit expression, we get:
f'(x) = lim(h -> 0) [(x + h) * sqrt(x + h) - x * sqrt(x)] / h
Expanding the numerator using the binomial expansion formula, we get:
f'(x) = lim(h -> 0) [(x * sqrt(x)) + (h * sqrt(x)) + (x * (h / (2 * sqrt(x)))) + (h^2 / (2 * sqrt(x + h)))] / h
Simplifying the expression, we get:
f'(x) = lim(h -> 0) [sqrt(x) + (h / (2 * sqrt(x))) + (h / (2 * sqrt(x + h)))]
Multiplying and dividing by sqrt(x + h) in the last term, we get:
f'(x) = lim(h -> 0) [sqrt(x) + (h / (2 * sqrt(x))) + (h * sqrt(x + h) - h * sqrt(x)) / (2 * h * sqrt(x + h))]
Simplifying the last term, we get:
f'(x) = lim(h -> 0) [sqrt(x) + (h / (2 * sqrt(x))) + ((sqrt(x + h) - sqrt(x)) / h)]
Using the difference of squares formula to simplify the last term, we get:
f'(x) = lim(h -> 0) [sqrt(x) + (h / (2 * sqrt(x))) + (1 / (sqrt(x + h) + sqrt(x)))]
Multiplying and dividing by (sqrt(x+h)-sqrt(x)) in the last term, we get:
f'(x) = lim(h -> 0) [sqrt(x) + (h / (2 * sqrt(x))) + ((sqrt(x+h)-sqrt(x)) / ((sqrt(x+h)+sqrt(x))*(sqrt(x+h)-sqrt(x))))]
Simplifying the denominator in the last term, we get:
f'(x) = lim(h -> 0) [sqrt(x) + (h / (2 * sqrt(x))) + ((1)/(sqrt{x+h}+sqrt{x}))]
Substituting 0 for h, we get:
f'(x) = sqrt{x}+1/(2*sqrt{x})
Therefore, d/dx[x*sqrt{x}] = sqrt{x}+1/(2*sqrt{x}).
Bings lösning är tyvärr svår att förstå. Jag tror din metod funkar också... bara något slarvfel kanske?
Aa jag förstår men hittar tyvärr inte var det blir fel.
Du skriver att: "Vi har två parenteser som vi ska multiplicera med varandra." Men detta stämmer inte med bilden där det är en parentes inuti en annan.
Magnus O skrev:Du skriver att: "Vi har två parenteser som vi ska multiplicera med varandra." Men detta stämmer inte med bilden där det är en parentes inuti en annan.
Om vi har olika bokstäver istället för att skriva krångliga termer så kan vi för enkelhetens skull säga att vi har (a+b(b+c)).
Enligt lösningsförlaget som jag hittat så är (a+b(b+c))=a+ b^2 + b*c. Hur räknar man det här uttrycket?
(a+b(b+c))=a+b*(b+c)=a+b*b+b*c=a+b2+b*c
Magnus O skrev:(a+b(b+c))=a+b*(b+c)=a+b*b+b*c=a+b2+b*c
Varför kan inte a+b*(b+c) = (a+b)*(b+c)?
Har fortfarande svårt att begripa hur man kommer fram till slutresultatet. Multiplicerar man in båda termerna i första parantesen samtidigt eller hur gör man?
Tillägg: 1 nov 2023 12:59
Om a+b multipliceras in i parantesen så får vi a+b*(b+c)= a+b*b+ab*c, vilket är fel.
Nej man multiplicerar bara in termen som står framför parentesen.
Detta är fel: a+b*(b+c) = (a+b)*(b+c) eftersom prioriteringsreglerna gäller
1) Parenteser
2) Multiplikation & division
3) Addition & subtraktion
Kort och enkelt lösningsförslag:
Oj, det var en väldigt lång härledning. Gränsvärdet vi ska bestämma är:
Härifrån kommer jag sluta skriva limes-tecknet, men tänk bara att det är med på varje rad ändå:
Eftersom vi enligt uppgiften vet att när samt att den andra termen bara går mot kan vi oproblematiskt dra slutsatsen att:
V.S.V.
Tillägg: 1 nov 2023 18:07
Generellt kan man tänka att man vill manipulera uttrycket så att man kan använda kända gränsvärden, t.ex. det som angavs i uppgiften.
