Derivatans definition

Visa med derivatans definition att

$D \frac{1}{x^{2}} = - \frac{2}{x^{3}}$

Jag har tänkt följande

$f' (x) = \lim_{h - > 0} \frac{\frac{1}{{(x + h)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}{h}$

$f' (x) = \lim_{h - > 0} \frac{1}{h {(x + h)}^{2}} - \frac{1}{h x^{2}}$

Men nu kommer jag inte riktigt vidare. Tänkte att man kunde förenkla så här.

$f' (x) = \lim_{h - > 0} \frac{1}{h (x^{2} + 2 x h + h^{2})} - \frac{1}{h x^{2}}$

Men ser redan att jag inte får x³ någonstans så tror jag gjort fel.

Försök få de två termerna på gemensamt bråkstreck.

Bedinsis skrev:
Försök få de två termerna på gemensamt bråkstreck.

Då ska jag ju få samma nämnare, men hur får jag det när jag måste addera istället för att förlänga med multiplikation?

Edit:

Nu har jag kommit fram till

$\frac{- 2 x h - h^{2}}{x^{2} (x^{2} + 2 x h + h^{2})}$

Men jag kan fortfarande inte sätta h = 0.

Glömde ett h i föregående.

Har nu fått

$\frac{- 2 x - h}{x^{2} * h * {(x + h)}^{2}}$ . Eftersom jag fortfarande har h som faktor i nämnaren så kan jag inte sätta h = 0

Måste blivit fel någonstans...

Vart tog h vägen i täljaren?

$\frac{- 2 x h - h^{2}}{x^{2} * h^{2} * {(x + h)}^{2}}$ . Tänkte att jag kunde stryka ett h.

$\frac{h (- 2 x - h)}{h (x^{2} * h * {(x + h)}^{2})}$

Ser nu att jag råkade skriva h² istället för h i mina anteckningar

Det blir då

$\frac{- 2 x - h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$

Och då kan jag skriva ut det.

$\frac{- 2 x - h}{x^{4} + 2 x h + h^{2}}$ . Sätter h = 0

$\frac{- 2 x}{x^{4}} = \frac{- 2}{x^{3}}$

Så du har förlängt första bråket med hx^2 och det andra med h(x+h)^2 - men då saknas det ett h i täljaren. Täljaren borde bli hx^2-h(x+h)^2 = -2hx-h^2=h(-2x-h)

Nu såg jag att du fixade det !

Åke H skrev:
Nu såg jag att du fixade det !

Ja. Tack för hjälpen! Är så lätt att göra slarvfel...

Svara

Visa senaste svar