Derivatans definition

Derivatans definition ger egentligen lutningen av en sekant där en av punkterna är den punkt man vill veta lutningen i (här x=2) och den andra är en godtycklig punkt på kurvan. Avståndet mellan punkterna benämns h och krymps avståndet mellan de två punkterna kommer man tillslut få lutningen i endast punkten man är intresserad av (här x=2). lim h -> 0 visar att avståndet mellan punkterna blir oändligt litet. 

Om du har lim h -> 0 (4+h) så "går h mot noll". Kvar blir 4 + [något oändligt litet] = 4.

Menar du att grejen men derivatans definition är att man räknar genomsnittliga förändringshasrigheten mellan den punkten man vill ha reda på och en annan punkt (två punkter på sekant) sedan genom att då ”krympa avståndet mellan x och h dvs är h jätteliten så kan man genom detta ta reda på punktens lutning dvs derivatan? Men vad anger ex lim x—-> 0 eller lim x—-> 4 ? Vad är skillnaden/vad betyder det? 

Bokstaven bakom "lim ->" anger bara vilken variabel det är som går mot ett visst tal. Spelar ingen roll om det skulle stå x istället för h. 

Exempel:

$\underset{x\to 5}{\lim }\left(3x+\frac{5}{x}\right)=3·5+\frac{5}{5}=15+1=16$

Ja precis men menar när ex h går mot 0 så får man ett gränsvärde men är gränsvärdet då lutningen vid den punkten? Är inte gränsvärdet där grafen skär y ledet när x=0 

Gränsvärdet blir lutningen i punkten, vars lutning vi vill åt. När $h\to 0$ så går $f(x+h)\to f\left(x\right)$.

Du känner till uttrycket för lutningen i ett intervall, inte sant? Det man gör är att man låter $\Delta y$ och $\Delta x$ vara godtyckligt små förändringar. Om du exempelvis vill räkna ut lutningen till grafen $y\left(x\right)=x^2$ i punkten $x=2$ så kan du få en rätt bra uppskattning genom att välja en punkt som är mycket nära $x=2$. Säg att vi väljer en punkt $x=2+{10}^{-3}$. Då blir lutningen i intervallet:

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{{(2+{10}^{-3})}^2-2^2}{(2+{10}^{-3})-2}=4.001$

Tänk att vi sedan väljer en punkt ännu närmare, typ $x=2+{10}^{-6}$. Då blir lutningen i intervallet:

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{{(2+{10}^{-6})}^2-2^2}{(2+{10}^{-6})-2}=4.000001$

Som du kanske märker kommer vi närmare och närmare 4 ju närmare $x=2$ vi sätter vår andra punkt. När man alltså låter $h\to 0$ så kommer vår andra punkt vara så "oändligt nära" att den i princip sammanfaller med vår punkt $x=2$.

naytte skrev:

Gränsvärdet blir lutningen i punkten, vars lutning vi vill åt. När $h\to 0$ så går $f(x+h)\to f\left(x\right)$.

Du känner till uttrycket för lutningen i ett intervall, inte sant? Det man gör är att man låter $\Delta y$ och $\Delta x$ vara godtyckligt små förändringar. Om du exempelvis vill räkna ut lutningen till grafen $y\left(x\right)=x^2$ i punkten $x=2$ så kan du få en rätt bra uppskattning genom att välja en punkt som är mycket nära $x=2$. Säg att vi väljer en punkt $x=2+{10}^{-3}$. Då blir lutningen i intervallet:

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{{(2+{10}^{-3})}^2-2^2}{(2+{10}^{-3})-2}=4.001$

Tänk att vi sedan väljer en punkt ännu närmare, typ $x=2+{10}^{-6}$. Då blir lutningen i intervallet:

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{{(2+{10}^{-6})}^2-2^2}{(2+{10}^{-6})-2}=4.000001$

Som du kanske märker kommer vi närmare och närmare 4 ju närmare $x=2$ vi sätter vår andra punkt. När man alltså låter $h\to 0$ så kommer vår andra punkt vara så "oändligt nära" att den i princip sammanfaller med vår punkt $x=2$.

Tack för förklaringen, är påväg att förstå men det jag låser mig för är varför ibland ex kan stå h--->4 borde det inte alltid vara h--->0 dvs minimalt avstånd från punkten till nästa punkt? Om det står h-->4 blir h inte mindre väl? Hoppas du förstår hur jag menar. 

Borde inte då lim i derivatans definition alltid vara h-->0 för då blir nästa punkt väldigt nära nästa punkt dvs f(2) och f(2+0,01) ? 

Varför kan det det då stå h-->4 ibland när skulle det kunna användas ? 

Det finns flera sätt att beräkna derivatan. Ett är där x->a och ett är där h->0. Men det förstnämnda är inte lika vanligt. Om du läser om derivata på Khanacademy (det finns artiklar/videor om det här) så gås det igenom där.

Tillägg: 19 jan 2023 08:50

Skulle du förresten kunna ge ett exempel där h->4 eller något liknande?