Derivatans definition

Bestäm med hjälp av derivatans deﬁnition f´(x) då $f (x) = \sqrt{1 + 2 x}$

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} - d e r i v a \tan s d e f i n i t i o n! \frac{\sqrt{1 + 2 (x + h)} - \sqrt{1 + 2 x}}{h} - - - > \frac{\sqrt{1 + 2 (x + h)} - \sqrt{1 + 2 x} \times (\sqrt{1 + 2 (x + h)} + \sqrt{1 + 2 x})}{h \times (\sqrt{1 + 2 (x + h)} + \sqrt{1 + 2 x})} - - > \frac{1 + 2 x + 2 h - (1 + 2 x)}{h \times (\sqrt{1 + 2 (x + h)} + \sqrt{1 + 2 x})} - - - > \frac{2 h}{h \times (\sqrt{1 + 2 (x + h)} + \sqrt{1 + 2 x})} \frac{2}{(\sqrt{1 + 2 (x + h)} + \sqrt{1 + 2 x})}$

Hur fortsätter man efter det här?

låt h gå mot noll (i praktiken sätt h = 0) och förenkla

Låt h gå mot noll, förenkla nämnaren och förkorta sedan bråket.

Bra.

Låt h gå mot 0 och förenkla.

Hej!

Du har gjort det bra, men vänta med att låta talet $h$ gå mot noll tills det absolut sista steget.

$\displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \{\text{Efter dina berakningar}\} = \frac{2}{\sqrt{1+2x+2h}+\sqrt{1+2x}}\ .$

Eftersom funktionen $h \mapsto \sqrt{1+2x+2h}$ är kontinuerlig i punkten $h=0$ så gäller det att $\sqrt{1+2x+2h} \to \sqrt{1+2x}$ då $h \to 0$ . Detta medför i sin tur att

$\displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \to \frac{1}{\sqrt{1+2x}}$ när $h \to 0.$

Albiki

Svara

Visa senaste svar