Derivatan för A/x (Matematik/Matte 3)

Är det här rätt ?

Nej, om f(x)=A/x är f(x+h)=A/(x+h)

Du bör börja med att göra en "faktaruta" där du skriver uttrycken för f(x) och f(x+h).

Tips för att slippa skriva så mycket och för att undvika att röra till det:

Sätt $f'(x)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{T}{h}$ , där $T=f(x+h)-f(x)$ .

Använd nu faktarutan för att formulera och sedan förenkla uttrycket för $T$ innan du sätter in det i uttrycket för derivatans definition.

Är det så hör ?

Nästan.

Du tappar bort ett minustecken i näst sista raden. Dessutom måste lim följa med hela vägen. Men annars ser det bra ut.

I slutet kan du helt enkelt sätta h=0, därmed får du bort lim.

Nu gjorde jag så här

I sista raden dividerar du med h i täljare, men inte nämnare.

Calle_K skrev:
I sista raden dividerar du med h i täljare, men inte nämnare.

Hur blir det då om jag förenklar ?

Du måste dividera bort h från nämnaren också.

Arup skrev:

Hur blir det då om jag förenklar ?

Se bild.

På näst sista raden har du en faktor h både i täljare och nämnare (rödmarkerat).

Felet är att på sista raden har denna faktor försvunnit från täljaren men inte från nämnaren (rödmarkerat).

==== Korrekt förenkling: ====

Du ska förkorta med h, dvs dividera både täljare och nämnare med h.

Då blir resultatet följande:

$f'(x)=\lim_{h\rightarrow0}-\frac{A}{x(x+h)}$

Om du nu låter $h$ gå mot 0 så får du $f'(x)=-\frac{A}{x(x+0)}=-\frac{A}{x^2}$

Men jag rekommenderar att du använder tipset från svar #4 för att minska både komplexiteten, mängden skrivande och risken för onödiga skriv/räknefel.

Då blir det så här:

$f'(x)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{T}{h}$ , där $T=f(x+h)-f(x)$ .

Faktaruta: Eftersom $f(x)=\frac{A}{x}$ så är $f(x+h)=\frac{A}{x+h}$

Vi får då att

$T=\frac{A}{x+h}-\frac{A}{x}=$

$=\frac{Ax-A(x+h)}{x(x+h)}=$

$=\frac{Ax-Ax-Ah}{x(x+h)}=$

$=-\frac{Ah}{x(x+h)}$

Vi får alltså att

$f'(x)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{-\frac{Ah}{x(x+h)}}{h}=$

$=\lim_{h\rightarrow0}-\frac{Ah}{xh(x+h)}=$

$=\lim_{h\rightarrow0}-\frac{A}{x(x+h)}=$

$=-\frac{A}{x^2}$

Yngve vad står T för ?

Och vad menar du med "faktaruta" ?

Ytterligare undrar jag ifall man skulle kunna förenkla i steg 2

här:

vi kan väl förkorta $x + h$ termerna ?

Arup skrev:
Yngve vad står T för ?

Och vad menar du med "faktaruta" ?

T står i det här fallet för "täljaren".

Med "faktaruta" menar jag en samling uttryck eller annat. Tanken är att man sedan kan plocka delar från faktarutan in i resten av uträkningen.

Det är ett bra sätt att strukturera/förenkla uträkningen, att slippa hålla på med röriga uttryck och att slippa hålla många saker i huvudet samtidigt.

Arup skrev:
Ytterligare undrar jag ifall man skulle kunna förenkla i steg 2

här:

vi kan väl förkorta $x + h$ termerna ?

Nej (x+h) är inte en gemensam faktor i täljaren.

Jämför följande:

Om ett bråk är $\frac{ab+ac}{a}$ så kan vi förkorta med $a$ eftersom $a$ är en gemensam faktor i täljaren.

Om ett bråk istället är $\frac{ab+c}{a}$ så kan vi inte förkorta med $a$ eftersom $a$ inte är en gemensam faktor i täljaren.

yngve jag förstår inte rikitgt eftersom vi har ju x+h i både täljaren och nämnaren. Så vi väl kunna förenkla detta till 1 ?

Arup skrev:
yngve jag förstår inte rikitgt eftersom vi har ju x+h i både täljaren och nämnaren. Så vi väl kunna förenkla detta till 1 ?

I inlägg #5 har du kommit fram till att uttrycket du vill beräkna gränsvärdet för är $\frac{A x - A x - A h}{h x^{2} + h^{2} x} = \frac{- A h}{h (x^{2} - h x)}$ . Är du med på att faktorn h finns både i täljare och nämnare och därför kan förkortas bort?

ja

Kommer du vidare med uppgiften nu? Ser du att du kan förkorta bort h, och när du inte har något som går mot 0 i nämnaren är det "ofarligt" att göra gränsvärdet.

ja och ja

Arup skrev:
yngve jag förstår inte rikitgt eftersom vi har ju x+h i både täljaren och nämnaren. Så vi väl kunna förenkla detta till 1 ?

Täljaren består av två termer.

Den ena termen är Ax. Den innehåller inte faktorn (x+h).
Den andra termen är A(x+h). Den innehåller faktorn (x+h).

Eftersom inte båda termerna innehåller faktorn så kan du inte förkorta bort den.