Derivatan av y = ln (x^(2)+2x+1)

Jag har försökt att derivera $y = l n (x^{2} + 2 x + 1)$ på följande sätt :

$e^{y} = x^{2} + 2 x + 1$

$e^{y} \cdot y' = 2 x + 2$

$y' = \frac{2 x + 2}{x^{2} + 2 X + 1}$ ( Det är efter det här steget jag har fastnat)

Enligt facit så ska derivatan vara $y' = \frac{2}{x + 1}$ .

I vilken ordning börjar jag att dividera kvoten för att få samma resultat som den på facit?

Eller har jag kanske deriverat fel?

Ditt uttryck är samma som det i facit. Faktorisera täljaren (2x+2) och nämnaren (x^2+2x+1) och förenkla. Det förutsätter iofs att $x\neq -1$ , men detta värde kan ändå inte ingå i definitionsmängden eftersom ln(...) då vore odefinierad.

--------------

Jag hade nog använt kedjeregeln direkt istället för att ta e upphöjt till, men det ger samma resultat till slut.

Yngve skrev :
Ditt uttryck är samma som det i facit. Faktorisera täljaren (2x+2) och nämnaren (x^2+2x+1) och förenkla. Det förutsätter iofs att $x\neq -1$ , men detta värde kan ändå inte ingå i definitionsmängden eftersom ln(...) då vore odefinierad.
--------------
Jag hade nog använt kedjeregeln direkt istället för att ta e upphöjt till, men det ger samma resultat till slut.

Jaha okej, jag har tänkt på att faktorisera och förenkla kvoten men det går väl inte att göra det om alla tal inte har ett x till exempel, som den i täljaren : 2x + 2 --> x (2*1 +2).

Yngve skrev :
Ditt uttryck är samma som det i facit. Faktorisera täljaren (2x+2) och nämnaren (x^2+2x+1) och förenkla. Det förutsätter iofs att $x\neq -1$ , men detta värde kan ändå inte ingå i definitionsmängden eftersom ln(...) då vore odefinierad.
--------------
Jag hade nog använt kedjeregeln direkt istället för att ta e upphöjt till, men det ger samma resultat till slut.

Tack för svaret Yngve, men jag är fortfarande förvirrad.

Inspiredbygreatness skrev :
Jaha okej, jag har tänkt på att faktorisera och förenkla kvoten men det går väl inte att göra det om alla tal inte har ett x till exempel, som den i täljaren : 2x + 2 --> x (2*1 +2).

Jodå, det går bra ändå.

Täljaren: 2x + 2 = 2*(x + 1).

Nämnaren: x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2.

Yngve skrev :
Inspiredbygreatness skrev :
Jaha okej, jag har tänkt på att faktorisera och förenkla kvoten men det går väl inte att göra det om alla tal inte har ett x till exempel, som den i täljaren : 2x + 2 --> x (2*1 +2).
Jodå, det går bra ändå.
Täljaren: 2x + 2 = 2*(x + 1).
Nämnaren: x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2.

Jag kom precis fram till svaret genom att :

Bortse 1an i nämnaren så att $\frac{2 x + 2}{x^{2} + 2 x}$ = $\frac{x + 1}{x^{2} + x}$ = $\frac{1 + 1}{x + 1} = \frac{2}{x + 1}$

Men tack för ditt svar, det är bra att lära sig att lösa ett tal från olika perspektiv.

Genom att dividera denna kvot så har jag lärt mig förhållandet mellan talen i täljaren och nämnaren.

Inspiredbygreatness skrev :
Jag kom precis fram till svaret genom att :
Bortse 1an i nämnaren så att $\frac{2 x + 2}{x^{2} + 2 x}$ = $\frac{x + 1}{x^{2} + x}$ = $\frac{1 + 1}{x + 1} = \frac{2}{x + 1}$
Men tack för ditt svar, det är bra att lära sig att lösa ett tal från olika perspektiv.
Genom att dividera denna kvot så har jag lärt mig förhållandet mellan talen i täljaren och nämnaren.

Nej så kan du inte göra.

Du kan inte bara plocka bort ettan i nämnaren sådär.

$\frac{2x+2}{x^2+2x+1}$ är inte lika med $\frac{2x+2}{x^2+2x}$

Övriga steg är inte heller rätt.

2 är inte en gemensam faktor i täljare och nämnare, så

$\frac{2x+2}{x^2+2x}$ är inte lika med $\frac{x+1}{x^2+x}$

x är inte en gemensam faktor i täljare och nämnare, så

$\frac{x+1}{x^2+x}$ är inte lika med $\frac{1+1}{x+1}$

---------------

Följande är däremot rätt:

$y'=\frac{2x+2}{x^2+2x+1}$

Bryt ut 2 ur täljaren och faktorisera nämnaren:

$y'=\frac{2(x+1)}{(x+1)(x+1)}$

Förkorta med den gemensamma faktorn (x+1):

$y'=\frac{2}{(x+1)}$

Yepp du har rätt. Gick igenom det igen och ser att det inte går att dividera talen med varandra på ett traditionellt sät inte i den här kvoten iaf. Det är väl bara att faktorisera och förenkla som du gjorde.

Svara

Visa senaste svar