Derivatan av (x+1)^(x+1)

När jag deriverar:

$f (x) = {(x + 1)}^{x + 1}$

ser jag $f (x)$ som en sammansatt funktion där den yttre funktionen är

$x^{x + 1}$

och den inre funktionen är

$x + 1$

Kedjeregeln mig ger då:

$f' (x) = D [x^{x + 1}] \cdot D [x + 1] = (x + 1) {(x + 1)}^{x} D [x + 1] = 1 D [x^{x + 1}] = (x + 1) {(x + 1)}^{x}$

Vilket inte överensstämmer med facit som lyder:

$f' (x) = {(x + 1)}^{x + 1} [1 + \ln (x + 1)]$

Har jag missat något med deriveringen eller är det någon faktorisering eller dylikt som jag inte är med på?

du missar att derivatan av a^x = a^x *ln(a)

Tips,

börja med att bestämma derivatan av x^x exempelvis med hjälp av omskrivningen x^x = e^xln(x)

Ture skrev:
du missar att derivatan av a^x = a^x *ln(a)

$f (x) = {(x + 1)}^{x + 1} = {(x + 1)}^{x} \cdot (x + 1) f' (x) = D [{(x + 1)}^{x}] \cdot (x + 1) + {(x + 1)}^{x} \cdot D [(x + 1] = {(x + 1)}^{x} \cdot \ln (x + 1) \cdot {(x + 1)}^{} + {(x + 1)}^{x} \cdot 1 = {(x + 1)}^{x + 1} \cdot \ln (x + 1) + {(x + 1)}^{x} \neq {(x + 1)}^{x + 1} (1 + \ln (x + 1))$

Varför fungerar inte ovanstående?

tänk på att du har din variabel, x, i både basen och exponenten (mitt första inlägg var lite missledande) därför måste du utgå från att

derivatan av y(x) = x^x som beräknas efter omskrivning till e^xln(x)

y' = e^xln(x)(ln(x)+x*1/x) = x^x(ln(x)+1) (där faktorn (ln(x)+x*1/x) är derivatan av exponenten)

nu kan du ersätta x med x+1 utan betänkligheter eftersom derivatan av x+1 = 1

y'(x+1)^(x+1) = (x+1)^(x+1) (ln(x+1)+1)

Ture skrev:
tänk på att du har din variabel, x, i både basen och exponenten (mitt första inlägg var lite missledande) därför måste du utgå från att

derivatan av y(x) = x^x som beräknas efter omskrivning till e^xln(x)

y' = e^xln(x)(ln(x)+x*1/x) = x^x(ln(x)+1) (där faktorn (ln(x)+x*1/x) är derivatan av exponenten)

nu kan du ersätta x med x+1 utan betänkligheter eftersom derivatan av x+1 = 1

y'(x+1)^(x+1) = (x+1)^(x+1) (ln(x+1)+1)

Suveränt, tack!

Svara

Visa senaste svar