Derivatan av sin x och cos x

Study4life skrev:

Jag skulle vilja säga att HELA förenklingen av sin(x+h), dvs sin(x)cos(h)+cox(x)sin(h) ska tas subtraherat med sin(x)

Detta är precis det de gör, efter det första =-tecknet.

Det de gör efter andra =-tecknet är att dela upp bråket i två delar, så att termerna i täljaren fördelas på två bråk, sin(x)*cos(h) och sin(x) som första bråkets täljare, och cos(x)*sin(h) som andra bråkets täljare.

Man skulle kunna skriva till bråken $\frac{\sin \left(x\right)\cos \left(h\right)-\sin \left(x\right)+\cos \left(x\right)\sin \left(h\right)}{h}=\frac{\left(\sin \right(x\left)\cos \right(h)-\sin (x\left)\right)+\cos \left(x\right)\sin \left(h\right)}{h}$ längst till höger på första raden, så kanske det blir tydligare?

Men borde det inte bli $\frac{\sin (x+h)-\sin x}{h}=\frac{(\sin x*\cos h+\cos x*\sin h)-\sin x}{h}=\frac{\left(\right(\sin x*\cos h)-\sin x)+\left(\right(\cos x*\sin h)-\sin x)}{h}$eftersom sin(x+h) är räknas som en term i sin helhet? Det går väl inte att dela upp den termen när HELA termen ska subtraheras med sin(x), dvs båda delarna;

del 1: sin(x)cos(h)

del 2: cos(x)sin(h)

Study4life skrev:

Men borde det inte bli $\frac{\sin (x+h)-\sin x}{h}=\frac{(\sin x*\cos h+\cos x*\sin h)-\sin x}{h}=\frac{\left(\right(\sin x*\cos h)-\sin x)+\left(\right(\cos x*\sin h)-\sin x)}{h}$eftersom sin(x+h) är räknas som en term i sin helhet? Det går väl inte att dela upp den termen när HELA termen ska subtraheras med sin(x), dvs båda delarna;

del 1: sin(x)cos(h)

del 2: cos(x)sin(h)

Nej, varifrån fick du den andra temen "-sin(x)"? Förenkla ditt "högraste" uttryck!

Man får ändra på ordningen mellan termer som adderas och subtraheras, t ex a+b-c = a-c+b.

Ok, så om man får ändra hur som helst spelar det ingen roll att sin(x+h) är ETT uttryck varifrån sin(x) ska subtraheras ifrån, utan det delar upp sig och sedan kan man flytta termerna hel vilt?

Uttrycket sin(x+h) kan skrivas om till sin(x)cos(h)+cos(x)sin(h). Det är helt OK att skriva om ett uttryck till en summa med hjälp av additionsregeln för sinus.

Om du har tre termer, sin(x)cos(h), cos(x)sin(h) och -sin(x), så får du ordna dem i vilken ordning du vill.

Så sin(x)cos(h)+cos(x)sin(h) hänger alltså inte ihop efter uppdelningen?

Men om det skulle varit det omvänta: $\frac{\sin x-\sin (x+h)}{h}=\frac{\sin x-(\sin x*\cos h+\cos x*\sin h)}{h}$kan man ju inte bara ta -sin(x) för den ENA termen  $\frac{\cos x*\sin h + (\sin x-\sin x*\cos h)}{h}$ eftersom hela uttrycket sin(x)*cos(h)+cos(x)*sin(h) HÄNGER IHOP. Man kan ju inte dela upp det...

Varför inte? Även nu kan du skriva om sin(x+h) med hjälp av additionssatsen för sinus.

Men bordet inte tecknet ändras, precis som vilken annan subtraktion som helst. Dvs $\frac{\sin x-(\sin x*\cos h+\cos x*\sin x)}{h}=\frac{\sin x-\sin x*\cos h-\cos x*\sin h}{h}$????

Nu ser jag att jag  inte la märke till hur konstigt du skrev. Om vi bara tar täljaren så blir det att

sinx-sin(x+h) = sinx-(sinxcosh+cosxsinh) = sinx-sinxcosh-cosxsinh = sinx(1-cosh)-cosxsinh.