Derivatan av polynomfunktioner

Bra att du provar båda metoderna. Det första är rätt.

I den andra subtraherar du x²+8x, men du ska subtrahera 3x²-8x.

+1 ska egentligen vara med också, både i f(x+h) och f(x), men de tar ut varandra.

Hur ska jag få in +1 i ekvationen?

såhär?

Hur kan jag börja med uppgift c) med derivatans definition?

(se första bild i första inlägget)

Biorr skrev:

Hur kan jag börja med uppgift c) med derivatans definition?

(se första bild i första inlägget)

Sätt $f(x)=\frac{x}{8}-\frac{x^2}{2}$

Då är $f(x+h)=\frac{x+h}{8}-\frac{(x+h)^2}{2}$

Kommer du vidare då?

Ska försöka få till det

Biorr skrev:

Hur ska jag få in +1 i ekvationen?

Jag tror att du gör det onödigt krångligt för dig.

Ett bra tips är att börja med att göra en "faktaruta" som innehåller ett uttryck för y(x) och ett uttryck för y(x+h).

Använd sedan dessa uttryck när du sätter ihop differenskvoten. Då slipper du hålla så många saker I huvudet åt gången och risken för onödiga fel minskar drastiskt.

Så här:

====== Faktaruta ======

$y(x) = 3x^2-8x+1$

$y(x+h)=3(x+h)^2-8(x+h)+1=$

$=3(x^2+2xh+h^2)-8x-8h+1=$

$=3x^2+6xh+3h^2-8x-8h+1$

===================

Differenskvoten $\frac{y(x+h)-y(x)}{h}$ blir då (när du plockar från faktarutan):

$\frac{(3x^2+6xh+3h^2-8x-8h+1)-(3x^2-8x+1)}{h}=$

$=\frac{3x^2+6xh+3h^2-8x-8h+1-3x^2+8x-1}{h}=$

$=\frac{6xh+3h^2-8h}{h}=\frac{h(6x+3h-8)}{h}$

Kommer du vidare själv därifrån?

Tack för vägledningen. Jag fixade de uppgifterna.

men på uppgift d så fastnade jag.

Ta inte så stora steg i taget.

Börja med att göra en "faktaruta" enligt tipset i svar #7.

I faktarutan kan du skriva ett uttryck för.y(x) och ett uttryck för y(x+h).

Sedan kan du sätta upp differenskvoten $\frac{y(x+h)-y(x)}{h}$

Såhär?

nånting blev fel

Svaret ska vara 8e^2x-1

Kontrollera ditt uttryck för y(x+h).

det är nog att e är med i bilden som gör det lite oklart i detta fall.

är osäker kring y(x+h)

Om y(x) = 4e^2x-x+e så är y(x+h) = 4e^2(x+h)-(x+h)+e.

Bra.

Nästa steg är att faktorisera täljaren.

Du får då 

$y'(x)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{e^{2x}(e^{2h}-h)}{h}=$

$=e^{2x}\cdot\lim_{h\rightarrow0}(\frac{e^{2h}}{h}-\frac{h}{h})=e^{2x}\cdot\lim_{h\rightarrow0}(\frac{e^{2h}}{h}-1)$

För att fortsätta kan du använda ett så kallat standardgränsvärde, men jag tror inte att det ingår i Matte 3.

======

Måste du använda derivatans h-definition här eller kan du använda deriveringsregler?

Det är onödigt att bestämma derivator genom definitionen om just det inte efterfrågas i uppgiften.

a) $y\text{'}=(3x²-8x+1)\text{'}=(3x²)\text{'}-\left(8x\right)\text{'}+\left(1\right)\text{'}=3·2x-8·1+8=6x-8$

d) $$\begin{gathered} y\text{'}=(4e^{2x}-x+e)\text{'}=\left(4e^{2x}\right)\text{'}-\left(x\right)\text{'}+\left(e\right)\text{'}=4\left(e^{2x}\right)\text{'}-1+0= \\ =4e^{2x}\left(2x\right)\text{'}-1=8e^{2x}-1 \end{gathered}$$

Hejsan 

Det räckte egentligen med deriveringsregeln.

men jag använde bara derivatans h-definition som ett sätt att kontrollera.