Derivatan av exponentialfunktionen y=a^x

Hej, jag har en uppgifte jag behöver hjälp med.

$D e r i v a \tan t i l l f u n k t i o n e n f (x) = 100 . 10^{- 05 x} k a n s k r i v a s f ´ (x) = C . e^{k x} . L ö s e k v a t i o n e n f ´ (x) = - 10 . M i t t f ö r s ö k : f ´ (x) = C . e^^{k x} . j a g h a r b e s t ä m t C o c h k k = - 0, 5 . \ln 10 C = - 50 . \ln 10 C . e^{k x} = - 10 - 50 . \ln 10 . e^{- 0, 5 . \ln 10 . x} = - 10 . J a g k o m m e r i n t e l ä n g r e ä n s å h ä r . T a c k p å f ö r h a n d .$

Tips:

skriv om den på formen:

$e^{kx}$

Hej!

Funktionen $f$ kan skrivas

$\displaystyle f(x) = 100 e^{\ln 10^{-0.5x}} = 100 e^{-0.5x \cdot \ln 10} = 100 e^{-kx}$

där $k = 0.5\ln 10.$ Funktionens derivata är lika med funktionen

$\displaystyle f'(x) = -100k \cdot e^{-kx}.$

Du vill bestämma det tal $x$ som är sådant att derivatan $f'(x) = -10,$ vilket är samma sak som ekvationen

$\displaystyle 10k \cdot e^{-kx} = 1.$

Logaritmera ekvationens båda led för att få

$\displaystyle kx -\ln 10k = 0,$

som ger svaret

$\displaystyle x = \frac{\ln 10k}{k}\ .$

Albiki

Svara