Derivata, x-värden
Uppgiften:
En tredjegradkurva har en minimipunkt i (-1,-3) och en maximipunkt i (1,3). För vilka x-värden är
b) f’(x) < 0
Hur ska jag tänka här? Är riktigt dålig på att rita upp kurvorna i koordinatsystem och den går inte att lösa algebraiskt då det inte finns en funktion att jobba med.
Kan inte heller använda mig av en teckentabell för då behöver jag derivatans ekvation
Om kurvan går från en minimipunkt i x = -1 till en maximipunkt i x= 1, viket tecken har derivatan då?
Förlåt men hänger inte alls med i vad du säger här. Har svårt att se kurvan framför mig
Om du går från en minimipunkt till en maximipunkt måste funktionen vara växande, eller hur? Derivatan har då tecknet?
Okej, ja det är positivt då. Men hur hänger det ihop med att de vill veta när f’(x) är mindre än 0?
Då vet du att om -1<x<1 så är derivatan positiv. Vilket tecken har då derivatan på andra sidan om extrempunkten? dvs då x < -1 eller x>1 dvs hur ser teckenväxlingarna ut i en teckentabell runt en minimipunkt och en maximipunkt?
AndersW skrev:Då vet du att om -1<x<1 så är derivatan positiv. Vilket tecken har då derivatan på andra sidan om extrempunkten? dvs då x < -1 eller x>1 dvs hur ser teckenväxlingarna ut i en teckentabell runt en minimipunkt och en maximipunkt?
Nu blev det förvirrande, om -1 är mindre än x och x är mindre än 1?
Om jag tar det från börja här: f’(x)=0 när x=-1 och x=1
I en minpunkt så går kurvan som en ledsen mun så då växer den på vägen upp mot -1. Då är det en positiv lutning. Men när lutningen blir 0 och sedan går över extrempunkten så blir den negativ?
Och tvärtom med en maxpunkt?
Sen tänker jag även som så att minpunkten (-1 ,-3) ligger längre ner i kurvan och eftersom vi efter den har en maxpunkt på (1,3) så blir det mer utav en terasspunkt än minpunkt eftersom linjen måste färdas rätt långt upp för att få en maxpunkt vid (1,3)
I en maxpunkt ser kurvan ut som en ledsen mun, den går ju upp till en topp för att sedan gå ned igen eller hur?
Vi kan göra en teckentabell även trots att vi inte vet vare sig funktion eller derivata. Vi vet att vid x = -1 och x=1 är derivatan 0. Däremellan (det är det jag menar med -1<x<1) vet vi att derivatan är positiv. Då får vi:
x | -1 1
-----|---------------
f'(x) | 0 + 0
vilket tecken är det på derivatan till vänster om -1 och sedan till höger om 1?
Det blir inte en terrasspunkt i denna, inte ens nära en terrasspunkt
AndersW skrev:I en maxpunkt ser kurvan ut som en ledsen mun, den går ju upp till en topp för att sedan gå ned igen eller hur?
Vi kan göra en teckentabell även trots att vi inte vet vare sig funktion eller derivata. Vi vet att vid x = -1 och x=1 är derivatan 0. Däremellan (det är det jag menar med -1<x<1) vet vi att derivatan är positiv. Då får vi:
x | -1 1
-----|---------------
f'(x) | 0 + 0
vilket tecken är det på derivatan till vänster om -1 och sedan till höger om 1?
Det blir inte en terrasspunkt i denna, inte ens nära en terrasspunkt
Jag har skrivit upp det i min tabell som + 0 + 0 -. För att kurvan måste först växa till -1 och sedan ska man från punkten -1,-3 till 1,3 och då måste kurvan växa ännu mera. Men då får man en till minpunkt så det kan inte stämma
om du har teckenväxlingen + 0 + så är det en terrasspunkt men det skulle ju vara en minimipunkt eller hur? För att det skall vara en minimipunkt måste ju teckenväxlingen vara - 0 +.
Det är så att denna funktion kommer uppifrån vänster och avtar fram till minimipunkten. Vänder där och växer till maximipunkten och vänder där nedåt för att avta ner åt höger.
Men man läser en linje från vänster till höger. Och -1,-3 är ju den första punkt vi får enligt informationen. Så bör den inte växa uppåt från vänster?
Nej den avtar fram till x=-1. (-1,-3) är ju en minimipunkt (glad mun).
Har du en grafritande räknare? Låt den rita funktionen så ser du hur denna ser ut.
AndersW skrev:Nej den avtar fram till x=-1. (-1,-3) är ju en minimipunkt (glad mun).
Har du en grafritande räknare? Låt den rita funktionen så ser du hur denna ser ut.
Ja jag kan se det nu. Blir så mycket enklare när man kan se grafen. Tror jag har tänkt att eftersom det är ett minus framför koordinaterna -1,-3. Att det då skulle vara en ledande kurva
Men en uppgift som denna ska lösas med hjälp av en räknetabell?
Ja, det skall den.
Eftersom du vet att (-1,-3) är en minimipunkt får du teckenväxlingen -0+ runt denna punkt dvs till vänster om en minimipunkt är f'(x) < 0, till höger är f'(x) > 0
Runt en maximipunkt får du tecknen +0- på derivatan. Då vet du att f'(x) > 0 till vänster och f'(x) < 0 till höger om maximipunkten.
AndersW skrev:Ja, det skall den.
Eftersom du vet att (-1,-3) är en minimipunkt får du teckenväxlingen -0+ runt denna punkt dvs till vänster om en minimipunkt är f'(x) < 0, till höger är f'(x) > 0
Runt en maximipunkt får du tecknen +0- på derivatan. Då vet du att f'(x) > 0 till vänster och f'(x) < 0 till höger om maximipunkten.
Varför blir det då x < -1 och x > 1 i facit?
Förstår att eftersom lutningen är nedåt när den avtar på en minpunkt så blir svaret x < -1 men borde det inte bli x < 1 då med? För på en maxpunkt avtar den efter extrempunkten?
Derivatan är - till höger om maximipunkten dvs i detta fall när x > 1.
AndersW skrev:Derivatan är - till höger om maximipunkten dvs i detta fall när x > 1.
Va? Men man läser inte en kurva åt höger hållet så varför skulle man titta åt vänster där den är växande? Känns otroligt onödigt att de ska göra det så komplicerat med mening…
Nu förstår jag inte var du menar. Till höger, efter maximipunkten, är funktionen avtagande, dvs derivatan negativ.
AndersW skrev:Nu förstår jag inte var du menar. Till höger, efter maximipunkten, är funktionen avtagande, dvs derivatan negativ.
Aahhh tänkte fel igen. Kan inte få rätt på allt detta i huvudet. Så mycket att ha koll på
De vill veta när derivatan är mindre än noll. Lutningen går nedåt när den är negativ. Så varför ska x då vara större än 1? Man få ju ett mindre värde på x när lutningen är negativ?
Du får ett mindre värde på y när x ökar och lutningen är negativ
AndersW skrev:Du får ett mindre värde på y när x ökar och lutningen är negativ
Jaha..
För detta hänger ihop med växande och avtagande eller hur? Och när en kurva är avtagande så är lutningen mindre (negativ) och när en kurva är växande är lutningen högre (positiv), så är det har jag fått lära mig. Så när man då frågar efter en lutning som är mindre än 0 tänker jag att ja då måste det vara när kurvan avtar. Men blir mitt x värde större då? Hur fasiken går det till?
Får ta och gå igenom detta igen. Tack för hjälpen ändå :)
Tänk på en rät linje. Om den går snett upp åt höger så är k-värdet positivt, eller hur? Och k-värdet är ju lutningen av linjen dvs derivatan av linjens funktion. I detta fall kommer y (funktionens värde) att öka när x ökar, det vill säga funktionen är växande
Om linjen går snett ned åt höger är k-värdet, dvs linjens derivata negativ. Då kommer funktionen att vara avtagande och derivatan negativ (negativt k-värde) därmed kommer y-värdet (funktionens värde) att minska när x ökar.
Du skall inte prata om mindre eller större här. Det är tecknet som gäller. Om derivatan är positiv är funktionen växande och om derivatan är negativ är den avtagande. Större och mindre blir bara konstigt. En funktion med derivatan 1 och en med derivatan 2 är båda växande även om den ena har större värde på derivatan än den andra.
