Derivata - Tangentlinje ekvation till y = sin(x + 30) (Matematik/Matte 4)

1. Vad menar du med "i punkt A då $X_{A} = 0$ "?

2. I sådana här uppgifter är det alltid bra att rita/skissa en bild, om du inte har gjort det, gör det och lägg in en bild.

Det var så jag fick frågan.

Om det är allt du fått veta och inte har en bild på frågan så antar jag bara att $x = 0$ , och det är där vi vill finna tangentens ekvation (vad är ens A eller $X_{A}$ ?).

Du verkar även ha blandat lite, ska det vara grader eller radianer vi håller på med här? Det påverkar nämligen derivatan en aning.

Och återigen, rita/skissa en bild om du inte har gjort det och lägg in den här.

Grader borde det va.

du har
y=sin(x+30)
vilket ger dig
y'=cos(x+30) (om du har radianer, grader ger ågot helt annat) vilket är ekvationen för lutning i alla punkter. Men de frågar bara efter tangenten i EN punkt.
Vad är lutningen på den tangenten? Dvs, vad är y'(0) ?

Tangenten kommer vara på formen y=kx+m
Hur får du fram m? (derivatan ger dig ju k, när du sätter in x=0)

M är ju y-värdet då x=0.

y'0 får man väl ut man man sätter in 0 där istället för x alltså y' = cos(0+30) eller?

Får 0,87.

För att kunna använda de vanliga deriveringsreglerna för trigonometriska uttryck måste vinkeln anges i radianer.

Om den istället är angiven i grader (vilket vi tror här) så måste du först omvandla vinkeln till radianer.

Eftersom $360$ ° $=2\pi$ radianer så är $1$ ° $=\frac{2\pi}{360}$ radianer $=\frac{\pi}{180}$ radianer.

Vinkeln $x+30$ grader är alltså lika med $(x+30)\cdot\frac{\pi}{180}$ radianer $=\frac{x\pi}{180}+\frac{\pi}{6}$ radianer.

Vi kan då skriva om sambandet i radianer som $y=sin (\frac{x\pi}{180}+\frac{\pi}{6})$

Nu kan du derivera $y$ med den vanliga deriveringsregeln.

Radianer har jag inte stött på tidigare i det här sammanhanget.

y = sin( $\frac{x π}{180} + \frac{π}{6})$

$\frac{x π}{180}$ = $\frac{π}{180}$ cos $\frac{x π}{180}$ + $\frac{π}{6}$

Vet inte om det är rätt början. Så knepigt detta.

Vet att jag måste använda Y-Y_A=K(X-X_A)

santas_little_helper skrev:
Radianer har jag inte stött på tidigare i det här sammanhanget.
y = sin( $\frac{x π}{180} + \frac{π}{6})$
$\frac{x π}{180}$ = $\frac{π}{180}$ cos $\frac{x π}{180}$ + $\frac{π}{6}$
Vet inte om det är rätt början. Så knepigt detta.
Vet att jag måste använda Y-Y_A=K(X-X_A)

om du menar

$y' = \frac{π}{180} \cos (\frac{x π}{180} + \frac{π}{6})$

så är det rätt så långt

och då lägger ja in 0 där x är va? Så:

y'= $\frac{π}{180}$ cos ( $\frac{0 π}{180}$ + $\frac{π}{6}$ ) eller?

så dålig på detta. Vill bara förstå

Ja det är tangentens lutning i punkten A, dvs k i tangentlinjens ekvation y = kx + m.

Nästa steg är att ta reda på m.

Vet du hur du ska göra det?

En vägledning skulle vara tacksamt:)

Börja med att ta fram ett siffervärde på tangentens lutning $k$ , dvs beräkna värdet av $\frac{\pi}{180}\cdot cos (\frac{\pi}{180}\cdot0+\frac{\pi}{6})$

När du har det så kan du ersätta $k$ med det värdet i tangentens ekvation $y=kx+m$

Denna ekvation beskriver ett samband mellan $x$ och $y$ för alla punkter på tangenten.

Om du nu vill bestämma värdet av $m$ så kan du helt enkelt välja vilken punkt $(x,y)$ som helst på tangenten och sätta in i tangentens ekvation. Eftersom du då känner till både $x$ , $y$ och $k$ så kan du enkelt beräkna värdet av $m$ .

Du känner ju till $x$ -koordinaten för en punkt på tangenten, nämligen tangeringspunkten.

Du kan enkelt beräkna tangeringspunktens $y$ -koordinat eftersom du vet att tangeringspunkten uppfyller sambandet $y=sin(\frac{\pi}{180}\cdot x+\frac{\pi}{6})$ , så tangeringspunktens $y$ -koordinat är helt enkelt $y=sin(\frac{\pi}{180}\cdot0+\frac{\pi}{6})$ .

-----------------------

En genväg är att helt enkelt utnyttja att $m$ är lika med $y$ -värdet där linjen skär $y$ -axeln.

När jag försöker få fram siffervärdet på tangentens lutning får jag 489,73 avrundat. Stämmer det?

Ska jag inte använda formeln Y-Y_A =K(X-X_A)? X_A är ju 0.

Tycker det var en väldigt jobbig fråga. Tappat bort mig helt och hållet nu:/

Suck

santas_little_helper skrev:
När jag försöker få fram siffervärdet på tangentens lutning får jag 489,73 avrundat. Stämmer det?
Ska jag inte använda formeln Y-Y_A =K(X-X_A)? X_A är ju 0.

Nej det stämmer inte.

$y'(0)=\frac{\pi}{180}\cdot sin (\frac{\pi}{180}\cdot0+\frac{\pi}{6})=$

$=\frac{\pi}{180}\cdot sin (0+\frac{\pi}{6})=$

$=\frac{\pi}{180}\cdot sin (\frac{\pi}{6})=$

$=\frac{\pi}{180}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi\sqrt{3}}{360}$

Tangentens lutning, dvs $k$ -värdet är alltså $\frac{\pi\sqrt{3}}{360}$ .

Det betyder att tangentens ekvation kan skrivas $y=\frac{\pi\sqrt{3}}{360}x+m$ .

Är det svaret?

Finns det nån formel till den?

Det är nästan klart.

Nu saknas bara att bestämma $m$ -värdet, dvs höjden där tangenten skär $y$ -axeln.

Eftersom tangeringspunkten är just vid $x=0$ så skär tangenten $y$ -axeln i just tangeringspunkten.

Det betyder att $m=y(0)$ , dvs funktionsvärdet i tangeringspunkten.

Så här ser det ut:

Hur fick du till den grafen? Det här jag finner knepigt.

M-värdet är iallafall där linjen skär y-axeln. Alltså 0,5 i det här fallet. Om jag förstått det rätt?

santas_little_helper skrev:
Hur fick du till den grafen? Det här jag finner knepigt.
M-värdet är iallafall där linjen skär y-axeln. Alltså 0,5 i det här fallet. Om jag förstått det rätt?

Jag använde ett mycket enkelt online grafritningsverktyg som heter Desmos.

Ja, m-värdet är 0,5 och då har du allt du behöver för att beskriva tangentens ekvation.

Men vad är x då? Annars blir det ju y= $\frac{π \sqrt{3}}{360} x + 0, 5$

santas_little_helper skrev:
Men vad är x då? Annars blir det ju y= $\frac{π \sqrt{3}}{360} x + 0, 5$

Ja det är rätt. Titta igen på det du har skrivit.

Det är ju ett samband mellan x och y på formen y = kx + m, dvs ekvationen för en rät linje.

Du är alltså klar med uppgiften.

Är det samma sak som en tangentlinje?

Ja det är ekvationen för den tangent/tangentlinje som tangerar kurvan y = sin(x+30°) i punkten med x-koordinaten 0.

Hur lär man sig allt detta? Känns så lätt för er. Önskar att jag vore mer i era skor som förstod.

Denna kändes knepig för mig. Många steg.

Va blir punkterna? För att få fram 0,5 så måste man få fram grafen först va

santas_little_helper skrev:
Hur lär man sig allt detta? Känns så lätt för er. Önskar att jag vore mer i era skor som förstod.
Denna kändes knepig för mig. Många steg

Orsaken till att det är lätt för oss är att vi har stött på många liknande uppgifter.

Det finns många uppgifter som liknar just denna, även om just funktionen och tangeringspunkten är olika från gång till gång.

Typexempel: "Bestäm ekvationen för den räta linje som tangerar kurvan $y = f(x)$ vid $x=x_1$ ."

Standardförfarande:

Rita en grov skiss av grafen till $f(x)$ och den efterfrågade tangenten. Skissen behöver inte alls vara noggrann utan tjänar endast som tankestöd.
Derivera funktionen så att du får ett uttryck för $f'(x)$ .
Sätt in $x$ -värdet för tangeringspunkten i derivatafunktionen. Det ger dig $f'(x_1)$ , vilket är lika med tangentens lutning, dvs $k$ -värdet i tangentens ekvation $y=kx+m$ .
Ta fram tangeringspunktens $y$ -värde. Det är $y_1=f(x_1)$ . Nu känner du till tangeringspunkten $(x_1,y_1)$ .
Sätt in tangeringspunktens koordinater i ekvationen för tangenten $y_1=k\cdot x_1+m$ .
Eftersom du känner till både $x_1$ , $y_1$ och $k$ så kan du beräkna $m$ .
Skriv ut ekvationen med det $k$ och det $m$ du beräknat: $y=kx+m$ .
Klart!

---------------------------------

Det som var extra krångligt i denna uppgift var att den trigonometriska funktionen hade vinkeln uttryckt i grader och inte i radianer.

Hur vet man hur man ska skissa en graf med bara informationen "sin(x+30 $°$ )" eller typexemplet som du gav "x = x₁"?

Du kan läsa om de trigonometriska funktionerna och deras grafer här. Det du undrar över beskrivs under "Förskjutning i x- och y-led".

Om du vet hur en sinuskurva utan förskjutning ser ut, dvs hur f(x) = sin(x) ser ut, så kan du alltid klura dig fram till om g(x) = sin(x+30) ska skjutas 30 grader åt höger eller vänster på följande sätt:

Om x = 0 så är g(0) = sin(0+30) = sin(30). Det betyder att grafen ska ha höjden sin(30) = 0,5 vid x = 0.
Om x = 30 så är g(30) = sin(30+30) = sin(60). Det betyder att grafen ska ha höjden sin(60)= $\frac{\sqrt{3}}{2}$ vid x = 30.
Om x = 60 så är g(60) = sin(60+30) = sin(90). Det betyder att grafen ska ha höjden sin(90)=1 vid x = 60.
Om x = -30 så är g(-30) = sin(-30+30) = sin(0). Det betyder att grafen ska ha höjden sin(0)=0 vid x = -30.

Nu kan du nog se hur resten av grafen ska se ut.

Tack för hjälpen! Fattar lite mer nu. Små steg

y'(0)=π/180⋅sin(π/180⋅0+π/6)=

=π/180⋅sin(0+π/6)=

=π/180⋅sin(π/6)=

= $\frac{π}{180}$ ⋅ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ = $\frac{π \sqrt{3}}{360}$

Tangentens lutning, dvs k

-värdet är alltså $\frac{π \sqrt{3}}{360}$ / 60.

Det betyder att tangentens ekvation kan skrivas y= $\frac{π \sqrt{3}}{360}$ x+m.

En undring ska inte sin( $\frac{π}{6}$ ) bli $\frac{1}{2}$ och inte $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Derivatan av sinus är cosinus, och cosinus för pi/6 är...

Och varför delar du med 60, och varför just 60?

santas_little_helper skrev:
y'(0)=π/180⋅sin(π/180⋅0+π/6)=
=π/180⋅sin(0+π/6)=

=π/180⋅sin(π/6)=

= $\frac{π}{180}$ ⋅ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ = $\frac{π \sqrt{3}}{360}$

Tangentens lutning, dvs k
-värdet är alltså $\frac{π \sqrt{3}}{360}$ / 60.
Det betyder att tangentens ekvation kan skrivas y= $\frac{π \sqrt{3}}{360}$ x+m.

En undring ska inte sin( $\frac{π}{6}$ ) bli $\frac{1}{2}$ och inte $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Jag tror Yngve skrev fel i något inlägg i mitten, så det står sin där det skulle vara cos, men talvärdena stämmer.

Ska inte vara nå 60 där. Kom med när jag kopierade. Men var ska det vara cos och var ska det vara sin? I hela uträkningen är det sinus. Varför ändras det till cos i sista steget?

Vill bara förstå.

Själva funktionen är en sinusfunktion. Derivatan av sinus är cosinus.

Jag ber om ursäkt för förvirringen. Jag skrev sin(...) istället för cos(...) men jag räknade med cos(...) i detta svar.

Så här ska det vara:

Funktionen är $y(x)=sin(\frac{\pi}{180}x+\frac{\pi}{6})$

Derivatan är $y'(x)=\frac{\pi}{180}\cdot cos(\frac{\pi}{180}x+\frac{\pi}{6})$

Yngve skrev:
Jag ber om ursäkt för förvirringen. Jag skrev sin(...) istället för cos(...) men jag räknade med cos(...) i detta svar.
Så här ska det vara:
Funktionen är $y(x)=sin(\frac{\pi}{180}x+\frac{\pi}{6})$
Derivatan är $y'(x)=\frac{\pi}{180}\cdot cos(\frac{\pi}{180}x+\frac{\pi}{6})$

Vad var det för skillnad?

santas_little_helper skrev:

Vad var det för skillnad?

Jag skrev felaktigt att $sin(\frac{\pi}{6})=\frac{\sqrt{3}}{2}$ när jag egentligen skulle ha skrivit att $cos(\frac{\pi}{6})=\frac{\sqrt{3}}{2}$ .