Derivata, produktregeln och dubbla vinkeln
Har fastnat på denna i snart 2h...
"Arean A m2 av ett rekangulärt område varierar med tiden t s enligt funktionen A=(2+2cos(t))(3+2sin(2t))"
a) bestäm A'(t)
Jag har förstått av sin(2t) i det här sammanhanget bör skrivas som 2*sint*cost. Men frågan är om produktregeln borde appliceras först, men då är det ju redan deriverat och i mina anteckningar blir det bara konstigt... Ett exempel på ett av mina försök:
A=6+4sin(2t)+6cos(t)+4cos(t)sin(2t)
A=6+4*2sin(t)cos(t)+6cos(t)+4cos(t)*2sin(t)cos(t)
A=6+8sin(t)cos(t)+6cos(t)+8sin(t)cos(t)2
A'(t)=8cos(t)*(-sin(t))-6sin(t)8cos(t)*(-2sin(t))
A'(t)=-8cos(t)sin(t)-6sin(t)-16cos(t)2sin(t)
Men enligt facit blir det:
A'(t)=8cos(2t)+8cos(t)cos(2t)-6sin(t)-4sin(t)sin(2t)
Jag snurrar bara till det med och mer ju mer jag tittar på detta just nu så tar gärna input :)
Blir det verkligen lättare av att skriva om sin(2t) sådär?
Funktionerna (2 + 2cos(t)) och (3 + 2sin(2t)) är ju ganska enkla att derivera var för sig.
I varsin parantes? I första parantesen blir det ju då (-2sin(t)) och i andra (2cos(t))
A'(t)=(-2sin(t))*(2cos(t)) = -4sin(t)cos(t)
Och det stämmer inte överrens med facit... ://
Nej, nu glömde du produktregeln.
Tillägg: ...och missade lite i den andra funktionen Derivatan av 2sin(2t) är ... vad?
A'(t)=(2+2cos(t))*(4cos(2t))+((-sin(t))*(3+2sin(2t)) ?
=8cos(2t)+2cos(t)4cos(2t)-3sin(t)-2sin(t)sin(2t) ...
har försökt såhär också men strular bara till den också
Lite slarvfel, men du är på rätt väg.
Vi utgår från att A(t) =(2+2cos(t))(3+2sin(2t)). Om f(t)=(2+2cos(t)) och g(t)=(3+2sin(2t)) så är enligt produktregeln A´(t)= f(t)*g´(t)+f´(t)*g(t)=-2sin(t)*(3+2sin(2t))+ (2+2cos(t))*4cos(2t) . Förenkla detta överlåter jag till dig.
Ser tillbaka i anteckningarna och slarvfelen hopar sig hahah...
A'(t)=(2+2cos(t))*(4cos(2t))+(-2sin(t))*(3+2sin(2t))
=8cos(2t)+8cos(t)cos(2t)-6sin(t)-4sin(t)sin(2t)
=vad facit säger 😍
Jag har säkert kommit fram till det här någon gång på vägen men med många termer blir det mycket i huvudet... Tack!!!
