Derivata problemlösning
Visa att polynomet x^3+3x-18 har ett reellt nollställe
Vad jag tänkte först är att ta x^3+3x-18 =0 och räkna ut x algebraiskt men då kommer jag inte längre än x(x^2+3)=18
I denna uppgift ska man inte använda miniräknare men jag gjorde det ändå för att se svaret och då är x~ 2.24.... så jag antar man inte ska algebraiskt räkna ut ett nollställen för att bevisa påståendet då det är för många decimaltecken att gissa sig fram till.
I en annan tråd skrev någon om att derivatan måste byta tecken för att det ska vara sant men jag fattar inte hur det bevisar att det finns ett reelt nollställe för polynomet.
Om du tar ett tillräckligt stort värde på x så har f(x) ett positivt värde. För ett tillräckligt stort negativt x-värde blir f(x) negativt. Någonstans däremellan finns åtminstone ett nollställe.
Kloky skrev:I en annan tråd skrev någon om att derivatan måste byta tecken för att det ska vara sant men jag fattar inte hur det bevisar att det finns ett reelt nollställe för polynomet.
Bra att du inte förstår det, för det stämmer inte.
Exempel:
- Polynomet x-1 har en derivata som inte byter tecken, men polynomet har ändå ett reellt nollställe.
- Polynomet x2+1 har en derivata som byter tecken, men polynomet saknar ändå ett reellt nollställe.
Däremot gäller det som Jan Ragnar skrev, att om funktionen byter tecken så måste den ha ett reellt nollställe.
Yngve skrev:Däremot gäller det som Jan Ragnar skrev, att om funktionen byter tecken så måste den ha ett reellt nollställe.
det där fattar jag inte heller, att funktionen byter tecken menas då att y går från negativ till positivt eller tvärtom men det kan väl en funktion med 2 nollställen också göra.
Ja, att en funktion byter tecken innebär att den har både negativa och positiva funktionsvärden.
Jag formulerar om;
Om funktionen byter tecken så måste den ha minst ett reellt nollställe.
