Derivata problem lösning uppgit

Du vill rita grafen till y = f(x).

• Rita ett koordinatsystem.
• Markera den kända punkten (0, 1).
• Du vet att detta är en minimipunkt, så grafen är en parabel som liknar ett U (smilie face) och att den lägsta punkten är (0, 1).
• Du vet att grafens lutning vid x = 1 är lika med 2. Rita därför ett kort streck med lutning 2 vid x = 1 och lite ovanför y = 1.
• Eftersom symmetrilinjen är x = 0 så ser grafen likadan ut (speglad) till vänster om y-axeln. Rita därför ett kort streck med lutning -2 vid x = -1 på samma höjd som det tidigare strecket.
• Sammanbind dina tre markeringar med en mjukt böjd parabel där lutningerna stämmer överens med dina första markeringar.

Är det såhär du menar? Hur kommer jag vidare sen?

Förlåt jag läste fel på uppgiften.

Detr grafen till y = f'(x) du ska rita, inte som jag skrev, grafen till y = f(x).

Eftersom f(x) är en andragradsfunktion f(x) = ax²+bx+c så är f'(x) en förstagradsfunktion, dvs en linjär funktion f'(x) = 2ax+b. 

Om du nu kan bestämma a och b så är det enkelt att rita grafen.

Du vet två saker:

• f(x) har en minimipunkt vid (0,1)
• f'(1) = 2

Detta ger dig två ekvationer med vars hjälp du kan bestämma a och b.

Aha okej. Förstår vad du menar men förstår inte riktigt vad de två ekvationerna är?

• Du vet att f(x) har en minimipunkt vid x = 0. Då vet du vad f'(x) har för värde vid x = 0.
• Eftersom f'(x) = ax+b så är f'(1) = a•1+b.  f'(1) = 2 ger dig då ekvationen a+b = 2.

Tillägg: 5 dec 2022 23:15

Jag skrev fel.

Det gäller att f'(x) = 2ax+b. Då är f'(1) = 2a•1+b och eftersom f'(1) = 2 så har vi ekvationen 2a+b = 2.

Hej då förstår jag ganska bra, tack. 
men jag förstår inte riktigt är f’(x) = 2ax+b eller bara ax+b

och sen hur går jag vidare efter jag vet denna informationen?

Jag skrev fel. Det ska vara f'(x) = 2ax+b.

Vet du vad derivatans värde är vid en minimipunkt?

Ja derivatan är 0 då. 

så 2a + b = 2?

Oskar.bananfluga skrev:

Ja derivatan är 0 då. 

Ja, och eftersom funktionen har en minimipunkt vid x = 0 så vet du att derivatan har värdet 0 vid x = 0. Det ger dig den ena ekvationen.

så 2a + b = 2?

Ja, det är den andra ekvationen.

Aha så mina två ekvationer är f’(0) = 0 och 2a + b = 2 

Men vad gör jag med dessa två sen?

Eftersom f'(x) = 2ax+b så är f'(0) = 2a•0+b = 0+b = b.

Det betyder att ekvationen f'(0) = 0 helt enkelt blir b = 0.

Så x = 0 och b = 0

Det betyder väl att a = 1 isåfall eftersom f’(1) ax+ b = 2 

Pröva! Du har kommit fram till att a = 1 och b = 0.

Det betyder att f(x) = x²+c.

Stämmer det med informationen du fått given i uppgiften?

Om det stämmer så återstår endast sista steget, nämligen att rita grafen till y = f'(x).

Ja det verkar som det stämmer eftersom det är en andragrads funktion?

men hur fick du det till att f(x) = x^2 + c

Vi satte ju f(x) = ax²+bx+c och du räknade fram att a = 1 och b = 0.

Det ger oss f(x) = x²+c och om vi vill så kan vi även bestämma c eftersom vi vet funktionens värde då x = 0.

Så då blir f’(x) = 2x ? 

hur gör man med grafen sen?

Uppgiften är att rita f'(x),

Nu har du kommit fram till att f'(x) = 2x, då återstår att rita det.

dvs linjen 

y = 2x

Så såhär då ungefär? 

• Tänk bort det strecket som kommer ovanifrån. 

Och sedan har jag en till fråga. Vad är grunden till f’(x) = 2ax + b? 

2ax+b är vad du får när du deriverar ax²+bx+c.

Din graf ser bra ut.

Anledningen till att jag skrev f(x) = ax²+bx+c är att alla andragradsuttryck/-polynom kan skrivas på det sättet.

Beroende på hur vi väljer konstanterna a, b och c så får vi olika andragradsuttryck.

Du kan läsa mer om detta här.

Aha okej men då förstår jag. Tack så jättemycket för hjälpen!