Derivata och talet e

Varför tror du att det är något fel på ditt resonemang? Funktionen f(x) = k^.e^x har den unika egenskapen att den är lika med sin egen derivata.

Smaragdalena skrev:

Varför tror du att det är något fel på ditt resonemang? Funktionen f(x) = k^.e^x har den unika egenskapen att den är lika med sin egen derivata.

Sträckan blir ju hyfsat lika för de två graferna efter 3 timmar, 19 km respektive 20 km.
Hastigheten blir 12 km/h respektive 20 km/h.
Accelerationen blir 4 km/h² respektive 20 km/h².

Argumentet i en exponentialfunktion måste vara dimensionlöst. Din sträcka kan alltså inte beskrivas som 

$s(t) = e^t$

om t är en tid. 

Du får peta in två multiplikativa konstanter

$s(t) = s_0e^{kt}$

så att s blir en sträcka och t en tid. 

Dr. G skrev:

Argumentet i en exponentialfunktion måste vara dimensionlöst. Din sträcka kan alltså inte beskrivas som 

$s(t) = e^t$

om t är en tid. 

Du får peta in två multiplikativa konstanter

$s(t) = s_0e^{kt}$

så att s blir en sträcka och t en tid. 

Aha!
Jag får fundera lite på det imorgon. En fråga bara du har skrivit s₀ om den är noll vid start så funkar det ju inte? 

Edit: Nej vi börjar ju vid ett. Ursäkta mig.

Vad blir mitt nästa steg?
Jag provade att sätta in S₀ = 1 och för att följa kurvan så måste k vara 1.
Då blir det ingen förändring vid derivering?

Ska S₀ också vara en variabel eller en egen funktion i det här fallet?

Vad är det egentligen du vill göra alternativt vad är det egentligen du undrar över?

Vill du försöka få de två kurvorna att överlappa varandra överallt? Det är omöjligt om $s_0$ och $t$ är konstanter.

Jag är inte säker på att jag förstår din fråga, men om du undrar hur hastigheten och accelerationen kan vara så olika, titta inte på acceleration/hastighet i slutpunkten, utan i början och i mitten. Hastigheten och accelerationen precis i slutet bidrar väldigt lite till sträckan. Då t är ett är accelerationen 2,72 jämfört med 4. När t är två är accelerationen ~7,5 jämfört med 4. :)

Yngve skrev:

Vad är det egentligen du vill göra alternativt vad är det egentligen du undrar över?

Vill du försöka få de två kurvorna att överlappa varandra överallt? Det är omöjligt om $s_0$ och $t$ är konstanter.

Ursprunget är att jag försöker att förstå talet e i olika sammanhang.
1) Min första fundering var "om jag ritar grafen f(t) = e^t hur blir det då om jag deriverar. Då händer ju inget och då blev min nästa tanke.
2) om jag sätter ihop en kurva som nästan överensstämmer med f(t) så kan jag derivera på vanligt sätt och kom då fram till att 
g(t) = 2t² + 1 följer f(t) från 0 - 3 väldigt fint. Då kunde jag derivera och fick hastigheten v = 19 km/h efter 3 timmar i mitt tänkta fall ovan.
3) Då ställde jag frågan här och Dr.G gav mig ett tips, som kanske kan gå. Om jag börjar med accelerationen 4 km/h² och försöker få till ett förhållande där e^kt = 4 efter 3 timmar så får jag $e^{3k}=4$och k = 0,4621
4) Vi integrerar och får $v\left(t\right)=\frac{e^{kt}}{k}+c$

Kan det vara rätt spår? (Familjen pockar på min uppmärksamhet, men tipsa mig gärna hur jag bör tänka)

Rätt spår mot vad? Jag förstår fortfarande inte vad det är du vill uppnå.

1. Vill du hitta konstanter $s_0$ och $k$ så att $f(t)=s_0e^{kt}$ sammanfaller med $s(t)=2t^2+1$ "så bra som möjligt"?
2. Vill du hitta konstanter $s_0$ och $k$ så att accelerationerna vid $t=3$ är lika, dvs så att $f''(3)=s''(3)$?
3. Vill du "förstå" talet e?
4. Något annat?

Yngve skrev:

Rätt spår mot vad? Jag förstår fortfarande inte vad det är du vill uppnå.

1. Vill du hitta konstanter $s_0$ och $k$ så att $f(t)=s_0e^{kt}$ sammanfaller med $s(t)=2t^2+1$ "så bra som möjligt"?

Svar: Nej det är inte målet. Ursprunget till frågan ligger i att jag försökte tänka mig in i en funktion som bara bestod av e^x
Vi vet ju att lutningen är k=e^x eftersom derivatan av f(x) = e^x 
Jag ritade upp den funktionen och undrade om den gick att använda som graf till en sträcka över tid. Det såg bra ut om jag höll mig i intervallet $0\le x\le 3$
Kunde jag då använda den för hastigheten om jag deriverade. Svaret var uppenbarligen nej.
Då fick jag idén att om jag hittade en kurva som var ganska nära kanske jag kunde komma vidare.
På det viset letade jag upp grafen g(t) = 2t² + 1, som man kan se i diagrammet ovan så ligger de två hyfsat nära varandra.
Den var lätt att derivera i två steg.

Sedan kom svaret från Dr.G och därifrån har jag nu försökt att gå från andra hållet.

Om jag börjar med accelerationen $a\left(t\right)=e^{kt}$

Nästa steg hastigheten $v\left(t\right)=s_0+\frac{e^{kt}}{k}$

Slutligen sträckan $s\left(t\right)=s_{0}t+\frac{e^{kt}}{k^2}+c$

Din tredje fråga. Svar ja. Jag jobbar med mitt gymnasiearbete i sommar och det här är en liten utvikning, som Gilbert Strang ledde in mig på. Länk. På första sidan försöker han motivera varför man skulle kunna ha en annan ingångspunkt än den som traditionellt används i dagens läroböcker. Jag tyckte den var intressant, men kom lite snett som du ser.

Nu tycker jag ändå att det var bra att jag började kika på det här. Även om jag inte känner att jag kommit ända fram.

Kanske du nu förstår hur jag tänker? 
Jag har nu testat k=0,4621 s₀ = 1 och är ganska nöjd med resultatet, men jag måste sätta c = - 3,68 för att få kurvan på rätt höjd. Riktigt varför vet jag inte?

ConnyN skrev:

Ursprunget till frågan ligger i att jag försökte tänka mig in i en funktion som bara bestod av e^x
Vi vet ju att lutningen är k=e^x eftersom derivatan av f(x) = e^x 
Jag ritade upp den funktionen och undrade om den gick att använda som graf till en sträcka över tid. Det såg bra ut om jag höll mig i intervallet $0\le x\le 3$
Kunde jag då använda den för hastigheten om jag deriverade. Svaret var uppenbarligen nej.

Antagligen missförstår jag dig, men det går alldeles utmärkt att låta en exponentialfunktion beskriva hur en sträcka förändras över tid. Det blir inga problem med vare sig hastighets- eller accelerationsfunktionen. Åtminstone inte om vi definierar definitionsmängden så att sträcka, hastighet och acceleration håller sig inom rimliga gränser.

Vi kan alltså utan problem sätta $s(t)=s_0\cdot e^{kt}$, där konstanterna $s_0$ och $k$ har enheterna meter och Hertz ($s^{-1}$) respektive, vilket gör att $s(t)$ får enheten meter.

Vi får då hastighetsfunktionen $v(t)=s_0\cdotk\cdot e^{kt}$ med enheten m/s och accelerationsfunktionen $a(t)=s_0\cdot k^2\cdot e^{kt}$ med enheten m/s^2.

Exempel: Med $s_0=2$ meter och $k=0,5$ Hz får vi följande utseende på respektive graf.

Yngve skrev:

Vi får då hastighetsfunktionen $v(t)=s_0\cdotk\cdot e^{kt}$

Det skulle stå $v(t)=s_0\cdot k\cdot e^{kt}$ där egentligen.

Tack Smaragdalena.

Nedan har jag ritat in mina tre grafer. Målet var att få en som var nära f(t) = e^x
y = 2^x + 1 ligger närmare.
Den som jag tog fram med integraler från acc = 4 är den som egentligen var lite av målet att få en kurva som liknade y = e^x med talet e inblandat.

Vill vi alltså hitta en funktion som efterliknar $e^x$? Isåfall kan du approximera $e^x$ genom att använda maclaurinutveckling. 

Ju fler termer du tar med ju mer likt kommer det bli. Notera att vi då får ett polynom.

Tjusigt!

Ja jag vet inte, men det kanske skulle kunna fungera?

Meningen är att jag ska ha ett polynom eller om vi kallar det för en exponentialfunktion som liknar den jag fick fram ovan genom att integrera. Det ska gå att derivera från sträcka till acceleration och integrera tillbaka samt innehålla talet e. 

hmmm, jag kanske hänger med på vad du menar. Här är iaf ett försök att uppfylla de kraven, det går att göra det ännu bättre men jag valde att endast utveckla till ordning 7 för att det inte skall bli allt för långt..

Men OK.

$h(x)=\dfrac{26}{7}-e+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^4}{4!}+\dfrac{x^5}{5!}+\dfrac{x^6}{6!}+\dfrac{x^7}{7!}$
$g(x)=e^x$

Detta ger följande grafer:

Här sammanfaller $g(x)$ och $h(x)$ nästan perfekt. Notera att i alla bilderna är $g(x)$ orange medan $h(x)$ är blå.

Här har vi första derivatan, dvs $h'(x)$ och $g'(x)$.

och sedan har vi andraderivatan, dvs $g''(x)$ och $h''(x)$: 


Om vi utvecklar till en högre ordning kommer approximationen bara att bli bättre och bättre men som sagt, jag valde att sluta efter $x^7$. 

Det finns säkert bättre sätt att göra detta på. Kanske interpolation, MKM eller någon annan smidig metod men i vilket fall som kanske detta duger?

OBS:
$f(x)=\sinh (x) + \cosh (x)$ är en väldigt bra approximation till $e^x$ men problemet är att vi inte har något $e$ som man eftertraktade. 

Dracaena skrev:

hmmm, jag kanske hänger med på vad du menar. Här är iaf ett försök att uppfylla de kraven, det går att göra det ännu bättre men jag valde att endast utveckla till ordning 7 för att det inte skall bli allt för långt..

Det finns säkert bättre sätt att göra detta på. Kanske interpolation, MKM eller någon annan smidig metod men i vilket fall som kanske detta duger?

Tack det var ett mycket bra exempel. Pedagogiskt och lärorikt.

Jag har fått ut mycket av detta nu och lärt mig en hel del om exponentialfunktioner.
Tack även till Yngve även om jag inte alls förstod tankegången först.

Nu har jag betydligt bättre begrepp om hur det fungerar och kan jobba vidare med talet e.
Lite synd att jag ställde till lite oreda för er alla genom att vara otydlig, men som sagt själv fick jag ut en hel del
genom att delvis "lyfta mig själv i håret" dvs. pressa mina kunskaper till det yttersta.
När man sitter bara med sina egna anteckningar så är det lätt att släppa på disciplinen och kanske inte göra sitt bästa.

Tack alla ni som svarat. Det var klart motivationshöjande med era frågor. Nu tvingades jag också att tänka efter en hel del tack vare de frågor som ställdes så jag fick en hel del tips om exponentialfunktioner som jag inte kände till och absolut uppmuntrar till fortsatta studier.

Edit: Jag kanske borde försöka förklara vad jag var ute efter. Efter att läst Gilbert Strangs text så började mina tankar snurra kring funktionen y = e^x och sambandet mellan den praktiska användningen av derivata och integraler i fysiken när vi kan gå från sträcka till hastighet och till acceleration genom att derivera funktionen.
I just det fallet har vi ju den möjligheten att lutningen i varje punkt på grafen kan fås i derivatan.
När jag tittade på y=e^x så såg jag att den möjligheten inte fanns, just så som jag tänkte. Då gick mina funderingar vidare och jag tänkte att det kanske går att få en funktion som liknar y=e^x och går att derivera och det gick ju relativt bra, men jag insåg inte meddetsamma att det var en relativt "onödig" kunskap på sätt och vis. 
Det jag fick ut av det hela, förutom all träning, var att det går att få fram en sådan kurva, men ekvationen y=e^x har man ingen nytta av i just det fallet.