Derivata och gränsvärde

$f(x)=\dfrac{x^{21}-1}{x-1}$.

Något intressant man kan notera är att x-1 faktiskt är em faktor i täljaren så man skulle faktiskt kunna utföra poldiv eller faktorisera även trots detta är väldigt omständigt i jämförelse med att derivera mha kvotregeln eller produktregeln om man vill så. .)

Tillägg: 29 sep 2021 20:37

Läs inlägg #7 av Smutsmunnen. Mitt inlägg är helt fel.

Om ett gränsvärde går mot $\frac{0}{0}$så kan man använde sig av L'Hôpitals regel vilket innebär att man deriverar täljaren och nämnaren, så vi kan få $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{21x^{20}}{1}=\underset{x\to 1}{\lim } 21x^{20}=21$vilket borde vara svaret.

Men ni kanske förväntas använda andra metoder för att lösa detta.

de dom vill att ni ska göra är att använda l'hopital's rule eller något liknande. Börja med att derivera täljare och nämnare för sig. 

Dracaena skrev:

$f(x)=\dfrac{x^{21}-1}{x-1}$.

Något intressant man kan notera är att x-1 faktiskt är em faktor i täljaren så man skulle faktiskt kunna utföra poldiv eller faktorisera även trots detta är väldigt omständigt i jämförelse med att derivera mha kvotregeln eller produktregeln om man vill så. .)

Hej, det stämmer inte att $f\left(x\right)=\frac{x^{21}-1}{x-1}$, i alla fall inte enligt facit: $21x^{20}$

MathematicsDEF skrev:

Om ett gränsvärde går mot $\frac{0}{0}$så kan man använde sig av L'Hôpitals regel vilket innebär att man deriverar täljaren och nämnaren, så vi kan få $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{21x^{20}}{1}=\underset{x\to 1}{\lim } 21x^{20}=21$vilket borde vara svaret.

Men ni kanske förväntas använda andra metoder för att lösa detta.

Intressant, detta har jag helt missat :o tack!

Alltså nej funktionen blir 

$f\left(x\right)=x^{21 }$

Gränsvärdet är dess derivata i punkten 1:

$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}$

Man kan också använda regeln för geometrisk summa baklänges för att beräkna kvoten:

$\frac{x^{21}-1}{x-1}=1+x+x^2+...+x^{20}$

När x går mot 1 blir varje term i summan 1, det finns 21 termer så gränsvärdet är 21.

Ja, du har helt rätt. Det är jag som är helt ute och cyklar!

Smutsmunnen skrev:

Alltså nej funktionen blir 

$f\left(x\right)=x^{21 }$

Gränsvärdet är dess derivata i punkten 1:

$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}$

Man kan också använda regeln för geometrisk summa baklänges för att beräkna kvoten:

$\frac{x^{21}-1}{x-1}=1+x+x^2+...+x^{20}$

När x går mot 1 blir varje term i summan 1, det finns 21 termer så gränsvärdet är 21.

Kan du utveckla lite hur du kom fram till detta $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}$, jag tror det kommer från derivatans definition men är osäker

Alltså derivatans definition är differenskvoten när differens går mot 0.

$\frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}$

så gäller bara att hitta en funktion sådan att

$f\left(x\right)-f\left(1\right)=x^{21}-1$

Därifrån vet inte hur jag ska förklara, man ser lösningen bara.

Tack för hjälpen alla!