Derivata - Normal och tangent (Matematik/Matte 4)

Det märks att du är trött, derivatan av 1+x är 1.

Lutningen är e^3. Du ska nu ta reda på punkten: (2, f(2)).

Läs detta svar igen. Där har jag beskrivit standardförfarandet för att ta fram tangentens ekvation.

Gör det först och visa dina uträkningar och resultat. Sedan tar vi oss an normalens ekvation.

Qetsiyah skrev:
Det märks att du är trött, derivatan av 1+x är 1.
Lutningen är e^3. Du ska nu ta reda på punkten: (2, f(2)).

f' (2) = u' * e^u---> 1 * e²⁺¹

Eller?

santas_little_helper skrev:
Qetsiyah skrev:
Det märks att du är trött, derivatan av 1+x är 1.
Lutningen är e^3. Du ska nu ta reda på punkten: (2, f(2)).
f' (2) = u' * e^u---> 1 * e²⁺¹
Eller?

e var ju ingen siffra det är ju bara ett värde eller hur var det?

e är en siffra!

Du vet lutningen, du behöver en punkt som linjen går igenom

Du bör skriva ner allting steg för steg så blir dina tankegångar tydligare och det blir lättare för oss att hjälpa dig.

Gör så här:

$f(x)=e^{x+1}$ . Då är
$f'(x)=e^{x+1}\cdot1$ , där $1$ är inre derivatan av $x+1$ .

I punkten där $x=2$ så får vi att

$f(x)=f(2)=e^{2+1}=e^3$ och
$f'(x)=f'(2)=e^{2+1}=e^3$

Det betyder alltså att

Tangeringspunkten är $(2,f(2))=(2,e^3)$
Tangentens lutning är $f'(2)=e^3$

Kommer du vidare nu?

santas_little_helper skrev:

e var ju ingen siffra det är ju bara ett värde eller hur var det?

På samma sätt som $\pi$ är en symbol som representerar ett tal (som är ungefär lika med 3,14) så är $e$ en symbol som representerar ett tal (som är ungefär lika med 2,72).

Men istället för att räkna med närmevärdet 3,14 så brukar vi ofta behålla symbolen $\pi$ i alla uträkningar och även i svaret.

På samma sätt brukar vi istället för att räkna med närmevärdet 2,72 behålla symbolen $e$ i alla uträkningar och även i svaret .

Yngve skrev:
Du bör skriva ner allting steg för steg så blir dina tankegångar tydligare och det blir lättare för oss att hjälpa dig.
Gör så här:
$f(x)=e^{x+1}$ . Då är
$f'(x)=e^{x+1}\cdot1$ , där $1$ är inre derivatan av $x+1$ .
I punkten där $x=2$ så får vi att
$f(x)=f(2)=e^{2+1}=e^3$ och
$f'(x)=f'(2)=e^{2+1}=e^3$
Det betyder alltså att
Tangeringspunkten är $(2,f(2))=(2,e^3)$
Tangentens lutning är $f'(2)=e^3$
Kommer du vidare nu?

Låser sig lixom. Tror man gör det svårare än vad det är.

Men tänker då Y-Y_A=K(X-X_A) --> Y-e³ = e³(x-(-2)

Y_Aär väl det man fick i första steget då vilket är e³ tänker jag.

santas_little_helper skrev:

Låser sig lixom. Tror man gör det svårare än vad det är.
Men tänker då Y-Y_A=K(X-X_A) --> Y-e³ = e³(x-(-2)
Y_Aär väl det man fick i första steget då vilket är e³ tänker jag.

Ja så kan du göra. Men $x_A$ är lika med 2, inte -2 som du har skrivit.

Yngve skrev:
santas_little_helper skrev:
Låser sig lixom. Tror man gör det svårare än vad det är.
Men tänker då Y-Y_A=K(X-X_A) --> Y-e³ = e³(x-(-2)
Y_Aär väl det man fick i första steget då vilket är e³ tänker jag.
Ja så kan du göra. Men $x_A$ är lika med 2, inte -2 som du har skrivit.

Y-e3 = e3(x-2) ---> så blir då e³ * x *e³* 2 + e³

santas_little_helper skrev:

Y-e3 = e3(x-2) ---> så blir då e³ * x *e³* 2 + e³

$y-e^3=e^3(x-2)$ är rätt.

Sen skriver du "blir då $e^3 * x *e^3 * 2 + e^3$ ".

Vad menar du? Vad är det som blir det?

Vill du skriva tangentens ekvation på formen $y=kx+m$ så ska du lösa ut $y$ ur sambandet $y-e^3=e^3(x-2)$ .

Det är lättare för oss att hjälpa dig om du beskriver dina tankegångar och uträkningar steg för steg.

Använder man inte parantesregeln? e³ * x och e³* 2

Om du menar att a*(b + c) = a*b + a*c så ja, den gäller. Men jag förstår inte hur du kommer fram till $e^3 * x *e^3 * 2 + e^3$ .

hur gör man då? e³ är ju a i det här fallet och x är b och 2 är c eller?

Om vi använder distributiva lagen så får vi att $e^3(x-2)=e^3x-2e^3$

Yngve skrev:
Om vi använder distributiva lagen så får vi att $e^3(x-2)=e^3x-2e^3$

Aldrig hört men okej och det är svaret eller?

Shit kommer nya saker hela tiden. Känns övermäktigt detta.

Distributiva lagen är det formella namnet på det du kallar "parentesregeln", så den känner du till.

Nej det är inte klart. Men du ska använda den regeln i högerledet när du ska lösa ut $y$ ur sambandet $y-e^3=e^3(x-2)$ .

Gör nu det och visa oss alla steg på vägen.

Y-Y_A= K(X - X_A)

Y - e³=(e³- 2) ---> Y= e³x - 2e³ + e³

Osäker på vad det blir av det.

santas_little_helper skrev:
Y-Y_A= K(X - X_A)

^^ Det här är rätt.

Y - e³=(e³- 2)

^^ Det här är fel, du har missat att skriva ett $x$ och ett $e^3$ i högerledet. Det ska vara $y-e^3=e^3(x-2)$

---> Y= e³x - 2e³ + e³

^^ Men här är det rätt igen.

Osäker på vad det blir av det.

Du kan förenkla högerledet.

De två sista termerna $-2e^3+e^3$ kan du skriva som en enda term $-e^3$ . Är du med på det?

Yngve skrev:
santas_little_helper skrev:
Y-Y_A= K(X - X_A)
^^ Det här är rätt.
Y - e³=(e³- 2)
^^ Det här är fel, du har missat att skriva ett $x$ och ett $e^3$ i högerledet. Det ska vara $y-e^3=e^3(x-2)$
---> Y= e³x - 2e³ + e³
^^ Men här är det rätt igen.
Osäker på vad det blir av det.
Du kan förenkla högerledet.
De två sista termerna $-2e^3+e^3$ kan du skriva som en enda term $-e^3$ . Är du med på det?

Nej jag är inte med på det. Varför kan det skrivas med en enda term? Hänger inte alls med.

suck

santas_little_helper skrev:

Nej jag är inte med på det. Varför kan det skrivas med en enda term? Hänger inte alls med.
suck

Ett bra tips när saker är krångliga är att försöka förenkla dem.

Jag tror att du blir förvirrad av att det står $e^3$ , så vi kallar $e^3$ för $a$ istället ett kort tag.

Den krångliga ekvationen som lyder $y=e^3x-2e^3+e^3$ kan då skrivas på en enklare form som $y=ax-2a+a$ .

Kan du förenkla den genom att lägga ihop de två sista termerna på högersidan?

Yngve skrev:
santas_little_helper skrev:
Nej jag är inte med på det. Varför kan det skrivas med en enda term? Hänger inte alls med.
suck
Ett bra tips när saker är krångliga är att försöka förenkla dem.
Jag tror att du blir förvirrad av att det står $e^3$ , så vi kallar $e^3$ för $a$ istället ett kort tag.
Den krångliga ekvationen som lyder $y=e^3x-2e^3+e^3$ kan då skrivas på en enklare form som $y=ax-2a+a$ .
Kan du förenkla den genom att lägga ihop de två sista termerna på högersidan?

2a²?

Vad blir det e³⁺³?

santas_little_helper skrev:

2a²?

Nej att -2a+a = -a hoppas jag att du vet?

Yngve skrev:
santas_little_helper skrev:
2a²?
Nej att -2a+a = -a hoppas jag att du vet?

Nej. suck. Fattar inget:/. A:et saknar koefficent så blir det 1 va? och då blir det -2a +1a alltså -(1)a.

Vad blir:

$e^3(-2+1)$ ?

santas_little_helper skrev:
Yngve skrev:

Nej att -2a+a = -a hoppas jag att du vet?
Nej. suck. Fattar inget:/

Det har nog bara låst sig för dig.

-2a är samma sak som -a-a, så -2a+a är samma sak som -a-a+a, vilket är samma sak som -a.

tomast80 skrev:
Vad blir:
$e^3(-2+1)$ ?

Att det står e³ där förvirrar mig totalt.

Yngve skrev:
santas_little_helper skrev:
Yngve skrev:
Nej att -2a+a = -a hoppas jag att du vet?
Nej. suck. Fattar inget:/
Det har nog bara låst sig för dig.
-2a är samma sak som -a-a, så -2a+a är samma sak som -a-a+a, vilket är samma sak som -a.

−2a+a = -a.

Men hur fortsätter jag då?

santas_little_helper skrev:

−2a+a = -a.
Men hur fortsätter jag då?

Då kan du gå vidare och skriva ut den förenklade ekvationen:

$y=ax-2a+a$

Förenkla högersidan:

$y=ax-a$

Nu kan du byta tillbaka från $a$ till $e^3$ :

$y=e^3x-e^3$

Klart!

Detta var knepigt måste jag säga. Rörigt minst sagt.

Så y = e³x - e³ är svaret?

Ja det är tangentens ekvation.

Nästa steg är att ta fram normalens ekvation.

Du kan då använda sambandet att tangenten och normalen är vinkelräta mot varandra och att två vinkelräta linjers riktningskoefficienter $k_1$ och $k_2$ uppfyller sambandet $k_1\cdot k_2=-1$ .

-----------

Vad var det som var rörigt hittills tycker du?

Jag tycker att den här uppgiften var betydligt enklare än den förra där du hade en cosinusfunktion att derivera.

Yngve skrev:
Ja det är tangentens ekvation.
Nästa steg är att ta fram normalens ekvation.
Du kan då använda sambandet att tangenten och normalen är vinkelräta mot varandra och att två vinkelräta linjers riktningskoefficienter $k_1$ och $k_2$ uppfyller sambandet $k_1\cdot k_2=-1$ .
-----------
Vad var det som var rörigt hittills tycker du?
Jag tycker att den här uppgiften var betydligt enklare än den förra där du hade en cosinusfunktion att derivera.

Är väl kanske bara ovan med e³. Rör ihop det kanske mer då.

Då ska man alltså multiplicera X_Amed Y_A vilket väl blir 2 * e³ till att börja med?

santas_little_helper skrev:

Är väl kanske bara ovan med e³. Rör ihop det kanske mer då.
Då ska man alltså multiplicera X_Amed Y_A vilket väl blir 2 * e³ till att börja med?

OK du kommer nog att vänja dig vid uttryck som $e^3$ . Se det bara som en symbol för "något", på samma sätt som $\pi$ är en symbol för "något".

---------

Nej varför ska du multiplicera $x_A$ med $y_A$ ?

Kalla tangentens riktningskoefficient för $k_1$ .

Kalla normalens riktningskoefficienten för $k_2$ .

Då gäller det att $k_1\cdot k_2=-1$ .

Lös nu ut $k_2$ ur denna ekvation och sätt in det värde på $k_1$ som du redan tagit fram.

Då får du ett uttryck för normalens riktningskoefficient.

Sedan kan du ta fram normalens ekvation på samma sätt som du gjorde för tangenten.

Om tangentens ekvation är y = e3x - e3 hur vet jag då riktningskoefficienten? är det e³ eller?

Vad är normalens då?

Måste sova nu. Kan inte tänka

Kör man inte Y-Y_A = K (X - X_A) i det här fallet fast man byter K mot -1/K. Normalens riktningskoefficient är väl det om den inte är noll?

Ja, tangentens riktningskoefficient (lutning) är $k_1=e^3$ .

Normalens riktningskoefficient $k_2$ kan du sedan räkna ut med hjälp av sambandet jag gav dig.

om man använder den; y−e³=e³(x−2) så är väl k2 y-e³= $\frac{- 1}{e^{3}}$ (x-2) eller?

Ja $y-e^3=-\frac{1}{e^3}(x-2)$ stämmer.