Derivata med roter

Tips:

y⁴ = x²(x+$\sqrt{x}$)

4y³y’ = $\frac{d}{dx}$(x²(x+$\sqrt{x}$))

Implicitderivatan av y⁴  är väl lika med 4y³ y´ ???

Tomten skrev:

Implicitderivatan av y⁴  är väl lika med 4y³ y´ ???

Tack. Helt korrekt. Korrigerat.

Hur gick det med denna? Kom du vidare?

Generell undring gällande detta. I matte lär man sig att när man gör ^2 på ekvationer, så måste man vara försiktig med att introducera falska rötter. Är det samma sak här om man nu senare skulle vilja undersöka derivatan, t.ex maxpunkt/minpunkt etc? För man arbetar man väl inte med exakt samma funktion längre?

Tror inte det blir samma problem i detta fall.

Testa t.ex. med $y=-x$
$y^2=x^2$
$\frac{d}{dx}y^2=2x$
$2y\cdot y'=2x$
$y=\frac{2x}{2y}=\frac{2x}{-2x}=-1$

tomast80 skrev:

Tror inte det blir samma problem i detta fall.

Testa t.ex. med $y=-x$
$y^2=x^2$
$\frac{d}{dx}y^2=2x$
$2y\cdot y'=2x$
$y=\frac{2x}{2y}=\frac{2x}{-2x}=-1$

Finns det fall då det kan bli problem, eller fungerar detta alltid för derivator, så man behöver aldrig tänka på det?

Det kan bli problem om y har ett nollställe.

Om vi antar att f(x) är en deriverbar funktion och definierar g(x) = (f(x))² så är g(x) deriverbar och g’(x) = 2f(x)f’(x). Om f(x) är skilt från 0 så kan vi dividera med f(x) och erhåller att f’(x) = g’(x)/f(x), inga problem.

I vårt problem så är y = 0 endast då x = 0, så i princip skulle vi behöva behandla fallet x = 0 separat, men det verkar klart att y’ inte är definierad för x = 0, så vi slipper göra någon separat beräkning.

Notera att vi skulle behöva göra separat beräkning för x = 0 även om vi använder kedjeregeln direkt på definitionen av y eftersom derivatan av $\sqrt{x}$ inte är definierad då x = 0.

PATENTERAMERA skrev:

Tips:

y⁴ = x²(x+$\sqrt{x}$)

4y³y’ = $\frac{d}{dx}$(x²(x+$\sqrt{x}$))

Hej 

Jag förstår inte vart detta kom ifrån alltså alltså y upphöjt till fyra. Alltså finns det någon regel som säger hur man ska tänka med roterna och i vilken ordning man ska jobba med dem ?

y upphöjt till 4 var nog ett trick för att bli av med de två "yttre" rötterna.

Kolla tipset från PATENTERAMERA, där har du y' och en funktion till höger som är enklare att derivera.

Kristiana R skrev:

PATENTERAMERA skrev:

Tips:

y⁴ = x²(x+$\sqrt{x}$)

4y³y’ = $\frac{d}{dx}$(x²(x+$\sqrt{x}$))

Hej 

Jag förstår inte vart detta kom ifrån alltså alltså y upphöjt till fyra. Alltså finns det någon regel som säger hur man ska tänka med roterna och i vilken ordning man ska jobba med dem ?

 

Börja med att kvadrera.

y² = ${\left(\sqrt{x\sqrt{x+\sqrt{x}}}\right)}^2$ = $x\sqrt{x+\sqrt{x}}$  (1)

Kvadrera en gång till.

y⁴ = ${\left(x\sqrt{x+\sqrt{x}}\right)}^2$ = $x^2\left(x+\sqrt{x}\right)=x^3+x^{5/2}$  (2)

Vi kan du derivera både VL och HL i (2) map x.

VL

$\frac{d{y}^4}{dx}=\frac{d{y}^4}{dy}\frac{dy}{dx}$ = 4y³y’  (3)

HL:

$\frac{d\left(x^3+x^{5/2}\right)}{dx}$ = $3x^2+\frac{5}{2}x\sqrt{x}$  (4)

Vi har att (3) måste vara lika med (4) och kan därför lösa ut y’ och erhåller 

y’ = $\frac{3x^2+\frac{5}{2}x\sqrt{x}}{4y^3}$.

Obs du kan räkna med kedjeregeln på vanligt sätt, men det blir lite längre beräkningar, detta var lite av ett trick.

Börja med att sätta h(x) = $x\sqrt{x+\sqrt{x}}$.

Då blir y = $\sqrt{h}$

y’ = $\frac{d\sqrt{h}}{dx}=\frac{d\sqrt{h}}{dh}\frac{dh}{dx}$ = $\frac{1}{2\sqrt{h}}\frac{dh}{dx}$ = $\frac{1}{2y}\frac{dh}{dx}$.

Sätt nu g(x) = $x+\sqrt{x}$. Då har vi

h(x) = $x\sqrt{g\left(x\right)}$.

$\frac{dh}{dx}=\frac{d}{dx}\left(x\sqrt{g}\right)$ = $\sqrt{g}+x\frac{d\sqrt{g}}{dx}$ = $\sqrt{g}+x\frac{d\sqrt{g}}{dg}\frac{dg}{dx}$ = $\sqrt{g}+x\frac{1}{2\sqrt{g}}\frac{dg}{dx}$.

$\frac{dg}{dx}=1+\frac{1}{2\sqrt{x}}$. 

Osv.