Derivata med arctan

Tips: använd additionsformeln för tan och utveckla:

$\tan f(x) = \tan (\arctan (...) + \arctan (...)) = ...$

Du använde minustecken mellan termerna istället för plus när du ritade upp kurvorna i demos. Testa att rita igen.

Du kan också rita en rätvinklig triangel så kanske du ser att

arctan(y) + arctan (1/y) = π/2

(I ditt fall är y = e^x, men likheten ovan gäller för alla positiva funktioner y.)

Dr. G skrev:

Du kan också rita en rätvinklig triangel så kanske du ser att

arctan(y) + arctan (1/y) = π/2

(I ditt fall är y = e^x, men likheten ovan gäller för alla positiva funktioner y.)

 Aaah just det. Och då är det bara att derivera $\frac{pi}{2}$ som är bara en konstant...

tomast80 skrev:

Du använde minustecken mellan termerna istället för plus när du ritade upp kurvorna i demos. Testa att rita igen.

 Hoppsan...

Jag har testat din grej och förstår inte vad du menar:

$$\begin{gathered} \tan \left(f\right(x\left)\right)=\tan \left(arc\tan e^x+arc\tan e^{-x}\right) \\ \tan \left(f\right(x\left)\right)=e^x+ e^{-x} \\ tan\text{'}\left(f\right(x\left)\right)=e^x-e^{-x} \end{gathered}$$

När kommer in additionsformlerna?

Jag har gjort såhär i morse:

$$\begin{gathered} D(arc\tan e^x+arc\tan e^{-x})=\frac{1}{1+e^{2x}}·e^x+\frac{1}{1+e^{-2x}}·-e^{-x} \\ =\frac{e^x}{1+e^{2x}}-\frac{e^{-x}·e^{2x}}{\left(1+e^{-2x}\right)·e^{2x}}=\frac{e^x}{1+e^{2x}}-\frac{e^x}{e^{2x}+e^0}=0 \end{gathered}$$

Hej!

Du verkar ha fått för dig att:

$\tan (u+v) = \tan u + \tan v$

Det stämmer INTE!

Du måste använda additionsformeln som jag angav i mitt inlägg. Kolla sen vad nämnaren blir.

Guuud vilket åsna. Jag undrade varför du skrev additionsformlerna, jag hade nämligen öppnat parentesen och förenklat $tan$ till  $arctan$.

Men iaf, med additionsformlarna hittar jag ännu värre, noll i nämnaren:

$$\begin{gathered} \tan (x+y) \to \tan (arc\tan e^x+arc\tan e^{-x})= \\ \frac{ \\ \tan arc\tan e^x+\tan arc\tan e^{-x}}{1 - \tan arc\tan e^x·\tan arc\tan e^{-x}}=\frac{ \\ e^x+ e^{-x}}{1 - e^x· e^{-x}}=\frac{ \\ e^x+ e^{-x}}{1 - e^0} \end{gathered}$$

dajamanté skrev:

Guuud vilket åsna. Jag undrade varför du skrev additionsformlerna, jag hade nämligen öppnat parentesen och förenklat $tan$ till  $arctan$.

 

Men iaf, med additionsformlarna hittar jag ännu värre, noll i nämnaren:

 

$$\begin{gathered} \tan (x+y) \to \tan (arc\tan e^x+arc\tan e^{-x})= \\ \frac{ \\ \tan arc\tan e^x+\tan arc\tan e^{-x}}{1 - \tan arc\tan e^x·\tan arc\tan e^{-x}}=\frac{ \\ e^x+ e^{-x}}{1 - e^x· e^{-x}}=\frac{ \\ e^x+ e^{-x}}{1 - e^0} \end{gathered}$$

 Nu har du gjort helt rätt! Det ska bli $0$ i nämnaren.

Då får du att $\tan f(x) = \infty$ Vad blir då $f(x)$? Vilken vinkel ger oändligheten på tan?

Just det:

$arc\tan \infty = \frac{\mathrm{\pi }}{2} :)$