Derivata - Maximumvolym

Kolla upp hur volymen beror av höjden och radien hos en kon (antar att struten är konformad). Konstatera att h=15-r och ersätt h med detta i uttrycket för volymen. Derivera och leta efter maxpunkt.

Konen har ju formeln V = $\mathrm{\pi }$r²h / 3.

Om jag ska ersätta h med 15-r i uttrycket så blir det $\mathrm{\pi }$15-r / 3 eller?

Försvinner r² då eller?

Vill bara förstå.

Du får att:

$\displaystyle V(r)=\frac {\pi r^2(15-r)}{3}$

Teraeagle skrev:

Du får att:

$\displaystyle V(r)=\frac {\pi r^2(15-r)}{3}$

Ahh okej tack och härifrån deriverar jag eller?

Precis!

santas_little_helper skrev:

Teraeagle skrev:

Du får att:

$\displaystyle V(r)=\frac {\pi r^2(15-r)}{3}$

Ahh okej tack och härifrån deriverar jag eller?

Varför lägger man in just 15-r?

och deriveringen av det blir då hmm $\mathrm{\pi }$r - r eller? 15 och 3 försvinner väl då? Osäker

$\displaystyle V(r)=\frac {\pi r^2(15-r)}{3}=5\pi r^2-\frac {\pi r^3}{3}$

$V'(r)=10\pi r-\pi r^2=\pi r(10-r)$

Är det svaret?

Teraeagle skrev:

$\displaystyle V(r)=\frac {\pi r^2(15-r)}{3}=5\pi r^2-\frac {\pi r^3}{3}$

$V'(r)=10\pi r-\pi r^2=\pi r(10-r)$

Förstår ingenting av den deriveringen. Vad som blir vad. Hur blir det 10$\mathrm{\pi }$r tillexempel?

santas_little_helper skrev:

Förstår ingenting av den deriveringen. Vad som blir vad. Hur blir det 10$\mathrm{\pi }$r tillexempel?

Derivatan av $r^2$ är lika med $2r$.

Alltså är derivatan av $5\pi\cdot r^2$ lika med $5\pi\cdot2r$, vilket kan förenklas till $10\pi r$.

----------

Derivatan av $r^3$ är lika med $3r^2$.

Alltså är derivatan av $\frac{\pi}{3}\cdot r^3$ lika med $\frac{\pi}{3}\cdot3r^2$, vilket kan förenklas till $\pi r^2$.

----------

Är du med då?

Aah jag tror det. Lite knepigare men går jag steg för steg så ser ja det.

Måste öva mer.

Hur går jag vidare?

I en maximipunkt gäller det att derivatan antar värdet 0. Då får du att:

$\pi r(10-r)=0$

Den ekvationen löses lämpligast med nollproduktmetoden. 

santas_little_helper skrev:

Aah jag tror det. Lite knepigare men går jag steg för steg så ser ja det.

Måste öva mer.

Hur går jag vidare?

Ja du bör träna på att ta små små tomtesteg.

(Du heter ju santas_little_helper, så tomtesteg borde passa dig ;-) )

------------------------

Hur du går vidare?

Du ska följa de steg jag sedan tidigare har tipsat om.

Läs detta svar igen. En del av dessa steg har du redan gjort.

Teraeagle skrev:

I en maximipunkt gäller det att derivatan antar värdet 0. Då får du att:

$\pi r(10-r)=0$

Den ekvationen löses lämpligast med nollproduktmetoden. 

$\mathrm{\pi }$r(10−r)=0

med nollproduktregeln tar man väl ändå:

$\mathrm{\pi }$r  =  0  och  (10 - r) = 0

Kan nollproduktregeln om det vart siffror men nu blir jag bara osäker hur jag fortsätter. Jag delar väl inte r med 10 eller?

Yngve skrev:

santas_little_helper skrev:

Aah jag tror det. Lite knepigare men går jag steg för steg så ser ja det.

Måste öva mer.

Hur går jag vidare?

Ja du bör träna på att ta små små tomtesteg.

(Du heter ju santas_little_helper, så tomtesteg borde passa dig ;-) )

------------------------

Hur du går vidare?

Du ska följa de steg jag sedan tidigare har tipsat om.

Läs detta svar igen. En del av dessa steg har du redan gjort.

Blir förvirrad när det är $\mathrm{\pi }$ och r med i de obekanta storheterna.

Tomtesteg är det som gäller för mig helt klart:)

$\pi r=0$ ger lösningen $r=0$.

$10-r=0$ ger lösningen $r=10$.

Den första lösningen kan inte ge den maximala volymen eftersom det skulle innebära att konen saknar radie. Då har den ingen volym över huvud taget (man kan visa att detta är konens minsta volym). Nu återstår det att beräkna volymen hos konen om radien är 10 cm och visa att det är den maximala volymen. Hur gör du det?

Teraeagle skrev:

$\pi r=0$ ger lösningen $r=0$.

$10-r=0$ ger lösningen $r=10$.

Den första lösningen kan inte ge den maximala volymen eftersom det skulle innebära att konen saknar radie. Då har den ingen volym över huvud taget (man kan visa att detta är konens minsta volym). Nu återstår det att beräkna volymen hos konen om radien är 10 cm och visa att det är den maximala volymen. Hur gör du det?

π⋅r² eller?

Tänkte även på π⋅r²⋅h/3. Låste sig nu helt. Kan inte det här :/

Finns det någon funktion i den här tråden som visar hur volymen beror av radien?

Teraeagle skrev:

Finns det någon funktion i den här tråden som visar hur volymen beror av radien?

V(r) = πr²(15−r) /3

är väl denna då eller?

Exakt! Vad får du för volym om du sätter in att radien är 10 cm?

Teraeagle skrev:

Exakt! Vad får du för volym om du sätter in att radien är 10 cm?

523,60?

santas_little_helper skrev:

Teraeagle skrev:

Exakt! Vad får du för volym om du sätter in att radien är 10 cm?

523,60?

är det maxvolymen då?

santas_little_helper skrev:

523,60?

är det maxvolymen då?

Ja, men vet du hur du ska kunna visa det?

Ska vi vara noggranna är volymen 523,60 cm³ (enheten är viktig). Det är dessutom bara ett närmevärde och inte den exakta volymen.

Yngve skrev:

santas_little_helper skrev:

Visa föregående citat

523,60?

är det maxvolymen då?

Ja, men vet du hur du ska kunna visa det?

Tips

Du kan använda någon av följande metoder:

• Andraderivatans tecken vid extrempunkten, läs här
• Teckentabell över förstaderivatan kring denna radie, läs här
• Pröva ett annat giltigt värde på radien och verifiera att volymen då blir mindre

Och vad är ett annat giltigt värde på radien?

santas_little_helper skrev:

Och vad är ett annat giltigt värde på radien?

Är -12 cm ett giltigt värde?

Är 5 cm ett giltigt värde?

Är 18 cm ett giltigt värde?

Teraeagle skrev:

Ska vi vara noggranna är volymen 523,60 cm³ (enheten är viktig). Det är dessutom bara ett närmevärde och inte den exakta volymen.

Hur får man fram den exakta volymen då eller maximumvolymen på glasstruten?

santas_little_helper skrev:

Hur får man fram den exakta volymen då eller maximumvolymen på glasstruten

$V(10)=\frac{500\pi}{3}$ är ett exakt värde.

Yngve skrev:

santas_little_helper skrev:

Och vad är ett annat giltigt värde på radien?

Är -12 cm ett giltigt värde?

Är 5 cm ett giltigt värde?

Är 18 cm ett giltigt värde?

Tips

Från uppgiftslydelsen: "… då summa av höjd och toppenradie är 15 cm …"

vadå är det 7,5 som är ett giltigt värde eller? vill bara förstå

nej haha är 5 cm va? då radien är 10

Tycker ändå denna var lite knepig eller?

Teraeagle skrev:

Ska vi vara noggranna är volymen 523,60 cm³ (enheten är viktig). Det är dessutom bara ett närmevärde och inte den exakta volymen.

Kanske dum fråga men hur vet man att det är ett närmevärde och inte ett exakt värde?

santas_little_helper skrev:

vadå är det 7,5 som är ett giltigt värde eller? vill bara förstå

nej haha är 5 cm va? då radien är 10

Giltigt betyder tillåtet.

• En radie är en sträcka så den kan aldrig vara negativ. Negativa värden är ogiltiga, dvs ej tillåtna.
• Om radien är 0 cm så är det inte en kon utan ett 15 cm högt "streck". 0 cm är ett ogiltigt värde, dvs ej tillåtet.
• Om radien är 15 cm så är det inte en kon utan en helt platt skiva. 15 cm är ett ogiltigt värde, dvs ej tillåtet.
• Om radien är större än 15 cm så måste höjden bli negativ eftersom summan av radien och höjden ska vara 15 cm. En höjd är en sträcka så den kan aldrig vara negativ. Alltså är en radie större än 15 cm ogiltig, dvs ej tillåtet.

Slutsats: Alla värden på radien mellan 0 och 15 cm är tillåtna.

Vad är knepig? 

santas_little_helper skrev:

Kanske dum fråga men hur vet man att det är ett närmevärde och inte ett exakt värde?

Du har avrundat värdet. Då är det ett närmevärde.

Yngve skrev:

santas_little_helper skrev:

Kanske dum fråga men hur vet man att det är ett närmevärde och inte ett exakt värde?

Du har avrundat värdet. Då är det ett närmevärde.

Såklart! Tack