Derivata MA3c

Kalla radien r och höjden h.

Vad är då volymen?

Vad är då arean?

Vad väger då aluminiumet (den tunna tjockleken kan du kalla d och densiteten rho)?

Meningen med Pluggakuten är att du skall få den hjälp du behöver för att kunna lösa dina uppgifter själv, inte att någon annan skall servera dig färdiga lösningar.

Börja med att skriva upp volymen för en cylinder. Det står i uppgiften att v skall vara konstant, så du kan beräkna höjden h som en funktion av r. Vilket uttryck får du för h(r)?

V=πr2h

Area för toppen och botten = 2(πr2)

totala arean =  2πrh + 2π2r2
 

Förstår att jag inte ska få det serverat och förstår att jag ska använda mig av denna information för att

gå vidare med uppgiften men skulle uppskatta en knuff i rätt riktning i tänkandet, är osäker på hur jag ska använda mig av det jag har. 

Lös ut h(r) ur uttrycket för burkens volym. . Använd det för att bilda ett uttryck för hur mycket aluminium som behövs. Derivera det uttrycket, sätt derivatan = 0 och beräkna r. 

Erkans skrev :

V=πr2h

Area för toppen och botten = 2(πr2)

totala arean =  2πrh + 2π2r2
 

Förstår att jag inte ska få det serverat och förstår att jag ska använda mig av denna information för att

gå vidare med uppgiften men skulle uppskatta en knuff i rätt riktning i tänkandet, är osäker på hur jag ska använda mig av det jag har. 

Välkommen till Pluggakuten!

Ditt uttryck för den totala arean $A=2\pi rh+2\pi r^2$ är korrekt.

Du ska minimera materialkostnaden, vilket är samma sak som att minimera materialåtgången.

Du vet att materialtjockleken på de cirkulära delarna är dubbelt så stor som tjockleken på mantelytan.

Om du säger att mantelytans tjocklek är 1 så är alltså tjockleken på de cirkulära botten- och toppdelarna 2. Om det är millimeter eller något annat mått är inte intressant just nu.

Det betyder att du kan skriva ett uttryck för totala materialåtgången för burken.

Kalla det uttrycket för M till exempel. M kommer att bero på variablerna r och h, men du kan skriva om M så att det endast beror på r (eller h).

Detta pga att r och h har ett beroende till varandra i och med att volymen V är konstant: $V=\pi r^2h$. Använd detta för att ange r som funktion av h (eller tvärtom).

Nu kan du ersätta r (eller h) i M, derivera och så vidare ...

Kommer du vidare då?  

Hmm tror det.

M=2tπrh+4tπr2=2πt(rh+2r2)

V=πr2h, h=Vπr2

M(r)=2πt(rVπr2+2r2)=2πt(Vπr+2r2)

och detta ska sedan minimeras?

$M\left(r\right) = 2\pi (r\frac{v}{\mathrm{\pi r}2}+2r^2) =2\pi (\frac{v}{\mathrm{\pi r}}+2r^2)$

$$\begin{gathered} M\text{'}\left(r\right) =2\pi t(-\frac{v}{\pi r2}+4r) \Rightarrow M\text{'}\left(r\right) = 2\pi t(-\frac{\pi r2h}{\pi r2} + 4r) \Rightarrow M\text{'}\left(r\right) = 2\pi t(-h+4r) \\ M\text{'}\left(r\right) = 0 ger -h + 4r =0 \\ h = 4r \\ d=2r \\ h=2d \\ ? \end{gathered}$$

Är jag rätt ute? läste en annan tråd gällande likadan uppgift och förstår så här långt

Erkans skrev :

$M\left(r\right) = 2\pi (r\frac{v}{\mathrm{\pi r}2}+2r^2) =2\pi (\frac{v}{\mathrm{\pi r}}+2r^2)$

 

$$\begin{gathered} M\text{'}\left(r\right) =2\pi t(-\frac{v}{\pi r2}+4r) \Rightarrow M\text{'}\left(r\right) = 2\pi t(-\frac{\pi r2h}{\pi r2} + 4r) \Rightarrow M\text{'}\left(r\right) = 2\pi t(-h+4r) \\ M\text{'}\left(r\right) = 0 ger -h + 4r =0 \\ h = 4r \\ d=2r \\ h=2d \\ ? \end{gathered}$$

 

Är jag rätt ute? läste en annan tråd gällande likadan uppgift och förstår så här långt

Ja det är rätt svar.

Du har ibland med tjockleken t, ibland inte. Men du kan som sagt sätta den till 1 efrersom den endast spelar roll för den faktiska materialåtgången, inte för problemet som sådant.

Var det denna tråd du tittade i?

Okej, tack för all hjälp. Ja precis, det var den tråden ja