Derivata-kvotregeln

Trollmoder skrev:

Hej,

Jag har helt kört fast i uppgift 2269 och det är helt låst i tanken, hur gör jag denna uppgift?

Är det nån som kan hjälpa mig att förklara steg för steg?

Tack på förhand

Ännu ett försök att lösa men blir fel.

Hej.

Bra att du inför g(x) och h(x) för att enklare kunna använda deriveringsreglerna.

I ditt andra försök skriver du om funktionen som en produkt:

$f(x)=\frac{x}{\cos(x)}=x\cdot\frac{1}{\cos(x)}$, dvs $f(x)=h(x)\cdot g(x)$, där $h(x)=x$ och $g(x)=\frac{1}{\cos(x)}$

Men du måste då tänka på att $g(x)=\frac{1}{\cos(x)}$ är en sammansatt funktion vars derivata inte är $\frac{1}{-\sin(x)}$.

Det blir kanske tydligt om du skriver om funktionsuttrycket som $(\cos(x))^{-1}$

Du måste då använda kedjeregeln för att ta fram derivatan till $g(x)$.

========

En annan metod är att använda kvotregeln som du skrev i rubriken.

Skriv då $f(x)=\frac{x}{\cos(x)}=\frac{g(x)}{h(x)}$.

Då gäller att

• $g(x)=x$
• $g'(x)=1$
• $h(x)=\cos(x)$
• $h'(x)=-\sin(x)$ 

Nu kan du sätta ihop uttrycket för $f'(x)$ direkt från deriveringsregeln i formelbladet:

Om $f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$ så är $f'(x)=\frac{g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{(h(x))^2}$

Yngve skrev:

Hej.

Bra att du inför g(x) och h(x) för att enklare kunna använda deriveringsreglerna.

I ditt andra försök skriver du om funktionen som en produkt:

$f(x)=\frac{x}{\cos(x)}=x\cdot\frac{1}{\cos(x)}$, dvs $f(x)=h(x)\cdot g(x)$, där $h(x)=x$ och $g(x)=\frac{1}{\cos(x)}$

Men du måste då tänka på att $g(x)=\frac{1}{\cos(x)}$ är en sammansatt funktion vars derivata inte är $\frac{1}{-\sin(x)}$.

Det blir kanske tydligt om du skriver om funktionsuttrycket som $(\cos(x))^{-1}$

Du måste då använda kedjeregeln för att ta fram derivatan till $g(x)$.

========

En annan metod är att använda kvotregeln som du skrev i rubriken.

Skriv då $f(x)=\frac{x}{\cos(x)}=\frac{g(x)}{h(x)}$.

Då gäller att

• $g(x)=x$
• $g'(x)=1$
• $h(x)=\cos(x)$
• $h'(x)=-\sin(x)$ 

Nu kan du sätta ihop uttrycket för $f'(x)$ direkt från deriveringsregeln i formelbladet:

Om $f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$ så är $f'(x)=\frac{g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{(h(x))^2}$

Tack Yngve, ska titta noga på detta men ser vid en snabb genomläsning att du skriver att jag först kan använda kedjeregeln, menar du att det går att välja mellan dessa?

Jag återkommer. Tack så länge

Kedjeregeln använder du i princip hela tiden. Ta $f(x)=x$ som exempel. Derivatan av f m.a.p $x$ blir $1$, men det fås m.h.a kedjeregeln egentligen:

$\frac{d}{dx}[x]=\frac{d}{dx}[(x)^1]=1\cdot x^0 \frac{d}{dx}[x]=1\cdot 1 \frac{d}{dx}[x]= 1$

Man brukar dock inte göra så, utan man tar den snabba vägen i sådana fall. Du ska använda kedjeregeln om du vill om $f(x)$.

Trollmoder skrev:

Tack Yngve, ska titta noga på detta men ser vid en snabb genomläsning att du skriver att jag först kan använda kedjeregeln, menar du att det går att välja mellan dessa?

Jag svarar på din fråga lite längre ner, men vill sätta svaret i ett sammanhang först.

Om du vill använda produktregeln så måste du först skriva funktionsuttrycket som en produkt av två funktioner, dvs $f(x)=g(x)\cdot h(x)$.

Eftersom $\frac{x}{\cos(x)}$ kan skrivas som $x\cdot\frac{1}{\cos(x)}$ så blir då $g(x)=x$ och $h(x)=\frac{1}{\cos(x)}$ (eller tvörtom).

När du sedan ska derivera funktionen $\frac{1}{\cos(x)}$ så måste du använda kedjeregeln eftersom $\frac{1}{\cos(x)}$ är en sammansatt funktion.

========

Om du istället väljer att använda kvotregeln så skriver du funktionsuttrycket som en kvot mellan två funktioner: $f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$.

Här har du att $g(x)=x$ och $h(x)=\cos(x)$.

Ingen av dessa är sammansatta funktioner, så du behöver inte använda kedjeregeln i det fallet.

==== Svar på din fråga: ====

Det beror inte på metoden (produktregeln vs. kvotregeln) huruvida du behöver använda kedjeregeln eller inte.

Istället beror det helt och hållet på hur dina funktioner $g(x)$ och $h(x)$ ser ut.

• Om $g(x)$ är en sammansatt funktion så måste du använda kedjeregeln för att ta fram $g'(x)$.
• Om $h(x)$ är en sammansatt funktion så måste du använda kedjeregeln för att ta fram $h'(x)$.

Detta gäller allrså oavsett om du använder produkt- eller kvotregeln.

Tack för alla svar.

Här är lösningen, sent omsider, tack även till Sten för handledning i livehjälpen:

Ni är grymma allesammans.

Svaren på b- och d-uppgifterna är rätt.

Svaret på a är fortfarande fel.

• Derivatan av 1/cos(x) är lika med sin(x)/cos²(x), inte -1/sin(x).
• Enligt produktregeln så gäller att (gh)' = g'h+gh', inte g'h-gh' som du skriver.

Svaret på c är rätt, men uttrycket kan förenklas vidare.

Hej, men då förstår jag inte hur jag ska göra i a...

och ej heller hur jag ska förkorta i c....

Trollmoder skrev:

Hej, men då förstår jag inte hur jag ska göra i a...

Läs mitt svar #6 igen. Vill du använda produktregeln eller kvotregeln?

och ej heller hur jag ska förkorta i c....

Det är att förkorta bråket på liknande sätt som du gjorde vid d-uppgiften.

Nämnaren (e^x)² kan ju skrivas som e^x•e^x ...