Derivata kedjeregeln absolutbelopp

$|x|$ kan som bekant delas upp i två fall, $\left\{\begin{array}{l}x, x\ge 0\\ -x, x<0\end{array}\right.$. Är $\ln{|x|}$ definierat för båda dessa fall? :)

ln a är definierad för alla reella a >= 0.

|x| >= 0 är definierad för alla x 

detta medför att ln|x| är definierad för alla x tänker jag.

Om x är negativt blir ln|x|=ln-x vilket är definierat. (om x är negativt medför att -x är positivt)

Skriv om det annars som:

$\displaystyle \ln(\sqrt{(\ln{\sqrt{x^2}})^2})$

Nästan rätt. Är ln(0) definierat?

Hej,

Logaritmen är inte definierad i noll och logaritmen av 1 är lika med noll, vilket gör att din funktion är odefinierad på mängden $\{0,-1,1\}.$

• Fall 1. $-\infty<x<-1.$ Här är $f(x) =\ln(\ln(-x))$ och $f^\prime(x)=\frac{1}{\ln(-x)}\cdot \frac{1}{-x} \cdot (-1)=\frac{1}{x\ln(-x)}.$
• Fall 2. $-1<x<0.$ Här är $f(x) = \ln(-\ln(-x))$ och $f^\prime(x) = \frac{1}{-\ln(-x)}\cdot \frac{1}{-x} \cdot (-1)=\frac{-1}{x\ln(-x)}.$
• Fall 3. $0<x<1.$ Här är $f(x) = \ln(-\ln(x))$ och $f^\prime(x)=\frac{1}{-\ln(x)}\cdot \frac{1}{x} \cdot 1=\frac{-1}{x\ln x}.$
• Fall 4. $1<x<\infty.$ Här är $f(x) = \ln(\ln(x))$ och $f^\prime(x)=\frac{1}{\ln(x)}\cdot \frac{1}{x} \cdot 1=\frac{1}{x\ln x}.$

Men det stämmer alltså att det korrekta är att dela upp det i fall och att facit slarvade lite?

ugglebulle skrev:

Men det stämmer alltså att det korrekta är att dela upp det i fall och att facit slarvade lite?

Enligt mig, ja. 

Bra, tack så mycket!