Derivata igen!

Vad är svaret? Det blir fel när du deriverar. $e^(-1)$ är en konstant, och deriveras alltså inte. $e^{-ix}$ deriveras till $-ie^{-ix}$. Oavsett är det onödigt krångligt. Har du provat att använda kedjeregeln istället? 

Daja, du verkar hitta på en räkneregel som säger att

1/(1+i*x) = e^(-(1+i*x))

Det saknas en logaritm i exponenten!

Varför inte skriva det på följande form istället:

$f(x) = g(x)^{-1}$

$f\text{'}\left(x\right)=-g(x{)}^{-2}g\text{'}(x)$

Smutstvätt skrev:

Vad är svaret? Det blir fel när du deriverar. $e^(-1)$ är en konstant, och deriveras alltså inte. $e^{-ix}$ deriveras till $-ie^{-ix}$. Oavsett är det onödigt krångligt. Har du provat att använda kedjeregeln istället? 

 Svar (titta i 10.3 om du vill)

@Dr: funkar det om jag lägger på en logaritm?

Jag trodde att det var en komplex tal, så vi $e$:ar upp alltihopp.

@tomast: jag testar en implicit ;)

EDIT till tomast80: men vänta nu jag måste ff derivera till $g'(x)$

Jo, det är ett komplext tal, men

$\displaystyle \frac{1}{1+ix}\neq e^{-(1+ix)}$

Du kan derivera denna funktion på precis samma sätt som om det skulle stå $3$ eller $4$ framför $x$.

Yttre funktion: $f\left(x\right)=-\frac{1}{x}$ 

Inre funktion: $g\left(x\right)=1+ix$ 

$$\begin{gathered} h\left(x\right)=f\left(g\right(x\left)\right) \\ h\text{'}\left(x\right)=f\text{'}\left(g\right(x\left)\right)·g\text{'}\left(x\right) \end{gathered}$$

$h\text{'}\left(x\right)=-\frac{1}{(1+ix{)}^2}·i=\frac{i}{(x-i{)}^2}$

EDIT: Som Guggle påpekade har jag slarvat bort ett minustecken. Nu är det rättat. Förlåt.

Smutstvätt skrev:

Yttre funktion: $f\left(x\right)=\frac{1}{x}$

Inre funktion: $g\left(x\right)=1+ix$

$$\begin{gathered} h\left(x\right)=f\left(g\right(x\left)\right) \\ h\text{'}\left(x\right)=f\text{'}\left(g\right(x\left)\right)·g\text{'}\left(x\right) \end{gathered}$$

$h\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{(1+ix{)}^2}·i=\frac{i}{(1+ix{)}^2}$

Bra, fast du fuskade bort ett minustecken. $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \left( \frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{x^2}$. Alltså får du

$h\mathrm{'}(x)=-\frac{i}{(1+ix)^2}=\frac{i}{(x-i)^2}$

Nu anses det i vissa kretsar "fult" att svara med imaginära tal i nämnaren. Därför kan man ibland vilja förlänga med konjugatet för att få det "snyggare". Alltför rigorös strävan efter detta estetiska ideal kan leda till de mest absurda svar i olika sammanhang, t.ex. i facit eller i artiklar.

Alltså multiplicerar vi både täljare och nämnare med $(x+i)^2$

$\frac{i(x+i)^2}{(x-i)^2(x+i)^2}=\frac{-2x-i(1-x^2)}{(x^2+1)^2}$

Implicit derivering är snyggt här:

$f(x)(1+ix) = 1$

$\frac{d}{dx} (f(x)(1+ix)) = \frac{d}{dx} 1$

$f(x)\cdot i + f'(x)(1+ix) = 0$

$f\text{'}\left(x\right)=-\frac{if\left(x\right)}{1+ix}=...$

Guggle skrev:

Smutstvätt skrev:

Yttre funktion: $f\left(x\right)=\frac{1}{x}$

Inre funktion: $g\left(x\right)=1+ix$

$$\begin{gathered} h\left(x\right)=f\left(g\right(x\left)\right) \\ h\text{'}\left(x\right)=f\text{'}\left(g\right(x\left)\right)·g\text{'}\left(x\right) \end{gathered}$$

$h\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{(1+ix{)}^2}·i=\frac{i}{(1+ix{)}^2}$

Bra, fast du fuskade bort ett minustecken. $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \left( \frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{x^2}$. Alltså får du

$h\mathrm{'}(x)=-\frac{i}{(1+ix)^2}=\frac{i}{(x-i)^2}$

Nu anses det i vissa kretsar "fult" att svara med imaginära tal i nämnaren. Därför kan man ibland vilja förlänga med konjugatet för att få det "snyggare". Alltför rigorös strävan efter detta estetiska ideal kan leda till de mest absurda svar i olika sammanhang, t.ex. i facit eller i artiklar.

Alltså multiplicerar vi både täljare och nämnare med $(x+i)^2$

$\frac{i(x+i)^2}{(x-i)^2(x+i)^2}=\frac{-2x-i(1-x^2)}{(x^2+1)^2}$

Vadå sorry, du hade ju rätt? Förutom en bortslarvade minusttecken, men ingen kommer att kasta stenet på dig för det!

tomast80 skrev:

Implicit derivering är snyggt här:

$f(x)(1+ix) = 1$

$\frac{d}{dx} (f(x)(1+ix)) = \frac{d}{dx} 1$

$f(x)\cdot i + f'(x)(1+ix) = 0$

$f\text{'}\left(x\right)=-\frac{if\left(x\right)}{1+ix}=...$

 Uuuuh snyggt. Men varifrån har du plockat ettan (i första raden)?

dajamanté skrev:

tomast80 skrev:

Implicit derivering är snyggt här:

$f(x)(1+ix) = 1$

$\frac{d}{dx} (f(x)(1+ix)) = \frac{d}{dx} 1$

$f(x)\cdot i + f'(x)(1+ix) = 0$

$f\text{'}\left(x\right)=-\frac{if\left(x\right)}{1+ix}=...$

 Uuuuh snyggt. Men varifrån har du plockat ettan (i första raden)?

 Man multiplicerar båda sidor med $(1+ix)$:

$f(x)=$$\displaystyle \frac{1}{1+ix}$

$f(x) \cdot (1+ix)=$$\displaystyle \frac{1}{\cancel{1+ix}} \cdot \cancel{(1+ix)}$

$f(x) \cdot (1+ix)=1$

Möjligen lite OT, men går att bevisa kvotregeln på detta sätt:

$y = \frac{f}{g}$

$f=f(x)$ och $g=g(x)$

$yg = f$

$\frac{d}{dx} (yg) = \frac{d}{dx} f$

$y'\cdot g+ y\cdot g' = f'$

$y' = \frac{f'-y\cdot g'}{g}$

$y\text{'}=\frac{f\text{'}·g-f·g\text{'}}{g^2}$

Tack!

Nu är jag med! Riktigt coolt den här med implicit derivering.