Derivata: grus bildar hög kon
Hej! Jag behöver hjälp med följande fråga:
Vid ett grustag leds gruset fram till en plan lagringsplats med hjälp av ett transportband. Från transportbandet faller gruset ner och bildar en hög i form av en kon. Högens volym ökar med hastigheten 0.01 m^3/s och högens höjd är hela tiden 30% av dess radie. Med vilken hastighet ökar radien när radien är 1m?
Så här har jag tänkt:
dV/dt= (dV/dr) • (dr/dt)
0,3•1=0,3= h
dV/dt= 0,01m^3= 10dm^3
V=( pi•(r^2)• h)/3=( pi•0,3•r^2 )/3= (pi•3•r^2)/3= pi•r^2
V’(r)= 2pir
V’(1)=2pi
dr/dt= 10/2pi=5/pi dm/s
Detta är dock fel och svaret ska vara 0,01m/s. Vad har jag gjort fel?
Du har skrivit h = 0,3, men det är 0,3r.
Höjden är 30% av radien och då radien är 1 blir väl h=0,3?
Då kan du lika gärna stoppa in r = 1 i formeln för V.
Laguna skrev:Då kan du lika gärna stoppa in r = 1 i formeln för V.
Jag förstår inte.. Om jag stoppar in r=1 i formeln får jag V(1)= (pi•h) /3 men jag ska väl derivera V med avseende på r?
V ska vara en funktion av r, för vi vill derivera den för att se hur fort volymen ändras, men i så fall kan du inte fixera h till 0,3, för det stämmer bara när r = 1, och r ska ju variera.
Nu förstår jag, tusen tack!
