Derivata - f''(1) (Matematik/Matte 4)

Hur får du $\tan^2(u)$ ? Nu behöver du använda en annan regel för att derivera uttrycket igen. Vilken?

Smutstvätt skrev:
Hur får du $\tan^2(u)$ ? Nu behöver du använda en annan regel för att derivera uttrycket igen. Vilken?

Gick efter ett formelblad. Vänta är det f'(x) = 1 + tan²(x).

Vet ingen annan tan-formel

Kedjeregeln, eller möjligen produktregeln, om du föredrar den.

Smaragdalena skrev:
Kedjeregeln, eller möjligen produktregeln, om du föredrar den.

Hur ska ja börja? Trodde nån av deriveringarna var rätt som jag skrev

Du behöver använda kedjeregeln. Hur lyder kedjeregeln? Vilken är den yttre funktionen? Vilken är den inre funktionen? (Jag tänkte fel om produktregeln förut.)

Smaragdalena skrev:
Du behöver använda kedjeregeln. Hur lyder kedjeregeln? Vilken är den yttre funktionen? Vilken är den inre funktionen? (Jag tänkte fel om produktregeln förut.)

Tänker att inre derivatan i det här fallet är väl (x²). Det som står inne så att säga.

Vet inte vilken derivataformel jag ska använda . Man deriverar väl först den yttre, som väl är tan i det här fallet och sen den inre. Osäker men

tänker lite att:

g(x) = x² = u ---> g'(x) = 2

eller?

Yttre funktion: f(u)=tan(u). Inre funktion u(x)=x². Vad är den inre derivatan u'(x)?Vad är den yttre derivatan f'(u)?

kollar i formelbladet jag har.

f(u)=tan(u) ---> f'(u) = u' * (1+ tan²(u))

u(x) = x² ---> u'(x) = 2x

Är det rätt?

Hur blir denna då om man fortsätter?

Tappat det helt. Bara förvirrad nu

Ja det är rätt.

Om $f(x) = tan(x^2)$ så är $f'(x)=(1+tan^2(x^2))\cdot 2x$ , dvs "derivatan av tangens gånger inre derivatan".

Eftersom $1+tan^2(x^2)=\frac{1}{cos^2(x^2)}$ så får vi att $f'(x)=\frac{2x}{cos^2(x^2)}$

Yngve skrev:
Ja det är rätt.
Om $f(x) = tan(x^2)$ så är $f'(x)=(1+tan^2(x^2))\cdot 2x$ , dvs "derivatan av tangens gånger inre derivatan".
Eftersom $1+tan^2(x^2)=\frac{1}{cos^2(x^2)}$ så får vi att $f'(x)=\frac{2x}{cos^2(x^2)}$

Ahh okej precis och sen lägger jag in 1 istället för x va? $\frac{2 * 1}{\cos^{2} (1^{2})}$

Och tan blir cos. Men vad blir cos²?

Ja det stämmer.

$cos^2(v)$ är bara ett annat sätt att skriva $(cos(v))^2$ , dvs $(cos(v))\cdot (cos(v))$ .

Yngve skrev:
Ja det stämmer.
$cos^2(v)$ är bara ett annat sätt att skriva $(cos(v))^2$ , dvs $(cos(v))\cdot (cos(v))$ .

Kanske suttit för länge men blir tan alltså cos?

Får svaret 2,00. Stämmer det?

Nej tan "blir" inte cos. Men $1+tan^2(v)=\frac{1}{cos^2(v)}$ .

Och nej, det blir inte 2. cos(1) är inte lika med 1.

Yngve skrev:
Nej tan "blir" inte cos. Men $1+tan^2(v)=\frac{1}{cos^2(v)}$ .
Och nej, det blir inte 2. cos(1) är inte lika med 1.

Vad innebär (v)? Förlåt vill bara förstå.

Hade inställt fel på miniräknaren. cos(1) blir 0,54

Det spelar ingen roll om du kallar det sin(v) eller sin (x) eller något annat, v eller x är deno beroende variabeln, det värdet som du stoppar in i funktionen.

Smaragdalena skrev:
Det spelar ingen roll om du kallar det sin(v) eller sin (x) eller något annat, v eller x är deno beroende variabeln, det värdet som du stoppar in i funktionen.

Okej. Blev bara fundersam hur det blev cos från tan. Men 1 + tan2(v) = $\frac{1}{\cos^{2} (x^{2})}$

För 1 + tan²(x²) = $\frac{1}{\cos^{2} (x^{2})}$ så blir det f'(x) = $\frac{2 * 1}{\cos^{2} (1^{2})} =$ 3,71

Så summa summarum så är detta rätt?

santas_little_helper skrev:

Vad innebär (v)? Förlåt vill bara förstå.

v är en vinkel, vilken som helst. Jag ville inte använda x för då kanske du blandar ihop det med din uppgift och tror att det bara gäller i just det fallet.

Men så är det inte.

Säg att v är en vinkel, vilken som helst.

Då gäller följande.

Eftersom $tan(v)=\frac{sin(v)}{cos(v)}$ så är

$1+tan^2(v)=1+(\frac{sin(v)}{cos(v)})^2=$

$=1+\frac{sin^2(v)}{cos^2(v)}$

Om vi nu skriver termen $1$ som $\frac{cos^2(v)}{cos^2(v)}$ så blir uttrycket

$\frac{cos^2(v)}{cos^2(v)}+\frac{sin^2(v)}{cos^2(v)}=\frac{cos^2(v)+sin^2(v)}{cos^2(v)}$

Eftersom $sin^2(v)+cos^2(v)=1$ (trigonometriska ettan, dvs Pythagoras sats) så blir uttrycket lika med $\frac{1}{cos^2(v)}$ .

Yngve skrev:
santas_little_helper skrev:
Vad innebär (v)? Förlåt vill bara förstå.
v är en vinkel, vilken som helst. Jag ville inte använda x för då kanske du blandar ihop det med din uppgift och tror att det bara gäller i just det fallet.
Men så är det inte.
Säg att v är en vinkel, vilken som helst.
Då gäller följande.
Eftersom $tan(v)=\frac{sin(v)}{cos(v)}$ så är
$1+tan^2(v)=1+(\frac{sin(v)}{cos(v)})^2=$
$=1+\frac{sin^2(v)}{cos^2(v)}$
Om vi nu skriver termen $1$ som $\frac{cos^2(v)}{cos^2(v)}$ så blir uttrycket
$\frac{cos^2(v)}{cos^2(v)}+\frac{sin^2(v)}{cos^2(v)}=\frac{cos^2(v)+sin^2(v)}{cos^2(v)}$
Eftersom $sin^2(v)+cos^2(v)=1$ (trigonometriska ettan, dvs Pythagoras sats) så blir uttrycket lika med $\frac{1}{cos^2(v)}$ .

Jag fattade sen. Men tack ändå för förklaringen och tålamodet.