Derivata enligt derivatans definition

Hej, jag sitter och försöker lösa uppgiften ni ser i bild. Jag har lite svårt att förstå hur långt jag ska gå i mina uträkningar för att svara på rätt form.

Mitt försök till lösning:

Jag har funktionen

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 5}$

Jag börjar med derivatans definition

$\lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Och sätter in min funktion

$\lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{{(x + h)}^{2} + 5} - \sqrt{x^{2} + 5}}{h}$

Är detta den form som eftersöks eller ska jag fortsätta med att sätta in -2?

$\lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{{(h - 2)}^{2} + 5} - \sqrt{{(- 2)}^{2} + 5}}{h}$

Eller ska jag fortsätta ännu längre? Tacksam för svar!

Ja, du ska ersätta x med -2, dvs att differenskvoten blir $\frac{f(-2+h)-f(-2)}{h}$ .

Sedan bör du fortsätta och förenkla så långt som möjligt under rotenurtecknen.

Yngve skrev:
Ja, du ska ersätta x med -2, dvs att differenskvoten blir $\frac{f(-2+h)-f(-2)}{h}$ .

Sedan bör du fortsätta och förenkla så långt som möjligt under rotenurtecknen.

Okej, då får jag att

$\lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{{(h - 2)}^{2} + 5} - \sqrt{{(- 2)}^{2} + 5}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{h^{2} - 4 h + 4 + 5} - \sqrt{4 + 5}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{h^{2} - 4 h + 9} - \sqrt{9}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{h^{2} - 4 h + 9} - 3}{h}$

Sen tar det stopp för mig, går det att förenkla ytterligare eller är detta det närmsta vi kommer?

Det ser bra ut.

Tack för hjälpen Yngve

Svara

Visa senaste svar